17.9. Нелинейные граничные задачи

Метод непрерывного продолжения по параметру, ранее примененный к задаче Дирихле в разделе 17,2, легко обобщается также и на другие граничные задачи. Методы неподвижной точки гл. 11 не всегда применимы даже в квазилинейном случае, так как в общем случае не удается построить компактный оператор, аналогичный оператору из разделов Рассмотрим нелинейную граничную задачу вида

где вещественные функции, определенные на множествах соответственно. Случай

соответствует задаче Дирихле на рассмотренной ранее в этой книге. Если то граничный оператор назьюается оператором с косой производной, если

для всех где внешняя единичная нормаль к Если же функция и и

для всех то оператор называется оператором с косой производной относительно функции Чтобы воспользоваться методом непрерывного продолжения по параметру, мы предположим, что а в качестве банаховых пространств возьмем пространства

с некоторым Определим отображение формулой

Оно имеет непрерывную на производную Фреше вида

с оператором определенным формулой (17.22), и оператором

где

Из теории Шаудера линейной задачи с косой производной, теорема 6.31, следует, что оператор ограниченно обратим, если оператор строго эллиптичен на и, оператор является оператором с наклонной производной на функции и и выполнены неравенства , причем или в или на . В силу этого и в силу теоремы 17.6 мы получаем следующее обощение теоремы 17.8.

Теорема 17.28. Пусть область в - открытое подмножество пространства Пусть

Предположим, что и выполнены условия:

(i) оператор строго эллиптичен в на каждой функции и

(ii) оператор или имеет вид (17.101), или является оператором с косой производной на на каждой функции и

(iii) для каждой функции и такой, что одна из величин от тождественного нуля;

(iv) множество ограничено в

Тогда граничная задача (17.101) разрешима в Замечание, аналогичное замечанию в конце части 17.2, справедливо и в этом случае. Именно: семейство граничных задач в (17.105) можно заменить более общим семейством гладко зависящим от а, для которого и уравнение разрешимо в Для каждого оператор должен, разумеется, удовлетворять тем же самым условиям, что и Покажем, что для квазилинейных операторов

условие (iv) из теоремы 17.28 может быть ослаблено и заменено условием, что для некоторого множество ограничено в Этот результат получается с помощью сведения доказательства существования для квазилинейных уравнений к получению требующейся априорной оценки подобно тому, как это делалось для задачи Дирихле в гл. 11. Для осуществления соответствующего сведения нам потребуется следующая лемма о сходимости.

Лемма 17.29. Пусть квазилинейный оператор вида (17.106) с коэффициентами граничный оператор вида (17.100), причем что оператор строго эллиптичен в а оператор является оператором

с косой производной Предположим, что существуют последовательности

(ii) равномерно ограничены в соответственно;

(iii) равномерно сходятся к соответственно.

Доказательство. Пусть где — натуральные числа. Функция является решением линейной задачи

где

Оцениваем, используя условия леммы:

где при постоянная С не зависит от к и

Используя модификацию оценки из теоремы 6.30, данную в задаче 6.11, получаем

Отсюда, в силу интерполяционного неравенства (теорема 6.35), следует оценка

где постоянная С вновь не зависит от при Покажем, что из (17.107) следует ограниченность Предположим, что это не так. Тогда для некоторых к

Следовательно, так что на основании (17.107) имеем откуда следует, что это противоречит (17.108).

Итак, нормы ограничены независимо от и поэтому и причем . В итоге, с помощью рассуждений, аналогичных предыдущим, мы получим, что

Объединив лемму 17.29 с теоремой 17.7, мы получим вариант теоремы 17.28, справедливый для квазилинейных уравнений.

Теорема 17.30. Пусть область в класса Предположим, что оператор строго эллиптичен в его коэффициенты а оператор является оператором с наклонной производной на Предположим также, что причем или или для каждой функции и Тогда если для некоторой функции множество

ограничено в для некоторого то граничная задача на однозначно разрешима в

В (17.109), как упоминалось ранее, могут быть использованы другие семейства задач. Например, можно рассмотреть семейство, аналогичное семейству, использованному для задачи Дирихле в теореме 11.4, а именно

Типичной задачей с косой производной является граничная задача с конормальной производной для эллиптического уравнения дивергентного вида, а именно

Интересным частным случаем задачи с конормальной производной является задача определения поверхности каппиляра с заданным углом контакта, упоминавшаяся в гл. 10. Для этого примера, а также для равномерно эллиптического оператора, удовлетворяющего естественным условиям, таким как в теореме 15.11, требующиеся априорные оценки имеют место, так что соответствующие теоремы существования следуют из теоремы 17.30. Для ознакомления с дальнейшими фактами читатель отсылается к литературе, например, к [147], [298], [63], [162], [163].

Примечания

Вполне нелинейные уравнения с двумя переменными изучались многими авторами, в том числе Леви [156], Ниренбергом [215], Погореловым [236] и Хайнцем [317]. Наиболее тщательно изучались уравнения типа уравнения Монжа-Ампера и связанные с ними геометрические задачи, такие как задача Минковского определения выпуклой гиперповерхности

по ее гауссовой кривизне. В работе [243] бьши введены экстремальные операторы Пуччи и решены соответствующие задачи Дирихле в случае двух переменных.

Многомерные уравнения Монжа-Ампера были вначале решены в обобщенном смысле Александровым [5] и Бакельманом [18], использовавшими полиэдральную аппроксимацию. Дальнейшее продвижение осуществлено в работах [19], [21], где получена обобщенная версия основной теоремы существования (теорема 17.24). Обобщенное решение уравнения Монжа-Ампера (17.2) может быть определено как выпуклая функция, нормальное отображение которой абсолютно непрерывно с плотностью Внутренняя регулярность обобщенных решений (при достаточно гладких граничных условиях) была доказана Погореловым [237—240] и Ченгом и Яу [334], [335], причем существенной основой их доказательств были внутренние оценки Погорелова вторых производных и внутренние оценки Калаби [108] третьих производных. Эти авторы доказали теорему 17.24 для уравнения Монжа-Ампера (17.2). Наш метод получения оценок вторых производных в разделе 17.6 использует метод Погорелова [236], [240] с добавлением соображений Л. М. Саймона относительно функции

Важный стимул к изучению вполне нелинейных равномерно эллиптических уравнений возник в теории стохастического управления. Уравнение Беллмана (17.8) является уравнением для (достаточно гладкой) целевой функции в задаче управления, связанной с системой стохастических дифференциальных уравнений. Первое значительное изучение этих уравнений осуществлено Крыловым и использует методы теории вероятностей, см. книгу [132]. Технику дифференциальных уравнений с частными производными последовательно развивали различные авторы: Брезис и Эванс [48] (получившие оценки в для пары операторов); Эванс и Фридман [358] - для случая постоянных коэффициентов (см. также [176]); П. Л. Лионе [169], Эванс и Лионе [356] — для общего равномерно эллиптического случая. В статьях [169], [356] существование сильного решения задачи Дирихле при условиях (17.62) доказано с помощью тонкого метода, основанного на аппроксимации с помощью эллиптической системы и на априорных оценках в Полное изучение (возможно вырожденного) уравнения Беллмана и изучение связей между задачей стохастического управления и динамическим программированием Беллмана было осуществлено П. Л. Лионсом [173], [174] и обсуждалось в [175] (см. также [172] для уравнения Гамильтона-Якоби первого порядка).

Теория классических решений вполне нелинейных эллиптических уравнений существенно прогрессировала после открытия внутренних, оценок Гёльдера вторых производных, сделанного Эвансом [353], [354] и Крыловым [134], доказавшими, по существу, результаты разделов 17.4, 17.5. Изложение этих результатов в разделах 17.4, 17.5 осуществлено с использованием упрощений, предложенных Трудингером [294]. Для нужд разделов 17.3 и 17.4 использовались оценки первых и вторых производных, полученные с помощью интерполяции, но такие же результаты имеют место и при более общих структурных условиях, аналогичных соответствующим условиям из квазилинейной теории [294], [295]. В частности, условия (17.29) и (17.53) для производных могут быть заменены на

следующие условия:

где не убывает по не убывает по (при этом в (17.53) не требуется вогнутость по переменнымр

Недавно теория уравнения Монжа-Ампера со многими независимыми переменными пережила период расцвета. Л. Лионсом [170], [171] был развит метод изучения классической задачи Дирихле с помощью дифференциальных уравнений с частными производными; используя его и используя более ранние работы Нэакельмана, П.Л. Лионе доказал теорему 17.24 для решений класса Метод Лионса основан на аппроксимации задачами, определенными в . В подобном духе Ченгом и Яу [336], [337] развит метод, основанный на аппроксимации задачами с бесконечными граничными значениями. Вероятностный метод был дан Крыловым [133]. Глобальная регулярность, представляющая серьезное препятствие для непосредственного применения метода непрерывного продолжения по параметру, была, наконец, обоснована Каффарелли, Ниренбергом и Спруком [116] и Крыловым [135], [136], которые доказали теоремы 17.26 и 17.26 соответственно и, следовательно, доказали теорему 17.23 в ее полном объеме для уравнения Монжа-Ампера (17.2). Кроме того, в статье [116] проблема разрешимости задачи Дирихле для общих уравнений типа уравнения Монжа-Ампера сведена к вопросу существования глобальных гладких субрешений, из чего легко следует случай теоремы 17.23.

Работа Каффарелли, Ниренберга и Спрука [116], а также работы Ивочкиной [104], [105] охватьюают случай общих граничных значений . В работе [297] теорема 17.24 обобщена на случай

Существование решений класса уравнения Беллмана (теорема 17.18) установлено Крыловым [135]. Идея, использованная в разделе 17.8, о рассмотрении направлений у как переменных встречается у Крылова в [137] при получении внутренних оценок вторых производных. Теорему 17.18 можно обобщить таким образом, чтобы охватывались структурные условия вида (17.29), (17.53) (см. [294], [295], [115]).

Сведение нелинейных граничных задач к получению априорной оценки в теореме 17.30 осуществлено Фиоренцой [311] (см. также Ладыженская и Уральцева [147]). В нашем изложении мы использовали при доказательстве леммы 17.2 некоторые упрощения Либермана [162], хотя главной идеей работы Либермана является замена метода непрерывного продолжения по параметру другим функционально аналитическим методом, допускающим более слабое, нежели условие (iii) в теореме 17.28, условие.

Краевая задача с косой производной для вполне нелинейных уравнений была недавно рассмотрена Лионсом и Трудингером [177], [295] для уравнения Беллмана, Либерманом и Трудингером [165], [295] для общих нелинейных граничных условий и Лионсом, Трудингером и Урбасом [178] - для уравнений типа уравнения Монжа-Ампера.

Задачи

(см. скан)

(см. скан)