Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 17.9. Нелинейные граничные задачиМетод непрерывного продолжения по параметру, ранее примененный к задаче Дирихле в разделе 17,2, легко обобщается также и на другие граничные задачи. Методы неподвижной точки гл. 11 не всегда применимы даже в квазилинейном случае, так как в общем случае не удается построить компактный оператор, аналогичный оператору
где
соответствует задаче Дирихле
для всех
для всех
с некоторым
Оно имеет непрерывную на
с оператором
где
Из теории Шаудера линейной задачи с косой производной, теорема 6.31, следует, что оператор Теорема 17.28. Пусть
Предположим, что (i) оператор (ii) оператор (iii) (iv) множество
условие (iv) из теоремы 17.28 может быть ослаблено и заменено условием, что для некоторого Лемма 17.29. Пусть с косой производной
(ii) (iii) Доказательство. Пусть
где
Оцениваем, используя условия леммы:
где
Используя модификацию оценки из теоремы 6.30, данную в задаче 6.11, получаем
Отсюда, в силу интерполяционного неравенства (теорема 6.35), следует оценка
где постоянная С вновь не зависит от
Следовательно, Итак, нормы Объединив лемму 17.29 с теоремой 17.7, мы получим вариант теоремы 17.28, справедливый для квазилинейных уравнений. Теорема 17.30. Пусть
ограничено в В (17.109), как упоминалось ранее, могут быть использованы другие семейства задач. Например, можно рассмотреть семейство, аналогичное семейству, использованному для задачи Дирихле в теореме 11.4, а именно
Типичной задачей с косой производной является граничная задача с конормальной производной для эллиптического уравнения дивергентного вида, а именно
Интересным частным случаем задачи с конормальной производной является задача определения поверхности каппиляра с заданным углом контакта, упоминавшаяся в гл. 10. Для этого примера, а также для равномерно эллиптического оператора, удовлетворяющего естественным условиям, таким как в теореме 15.11, требующиеся априорные оценки имеют место, так что соответствующие теоремы существования следуют из теоремы 17.30. Для ознакомления с дальнейшими фактами читатель отсылается к литературе, например, к [147], [298], [63], [162], [163]. ПримечанияВполне нелинейные уравнения с двумя переменными изучались многими авторами, в том числе Леви [156], Ниренбергом [215], Погореловым [236] и Хайнцем [317]. Наиболее тщательно изучались уравнения типа уравнения Монжа-Ампера и связанные с ними геометрические задачи, такие как задача Минковского определения выпуклой гиперповерхности по ее гауссовой кривизне. В работе [243] бьши введены экстремальные операторы Пуччи и решены соответствующие задачи Дирихле в случае двух переменных. Многомерные уравнения Монжа-Ампера были вначале решены в обобщенном смысле Александровым [5] и Бакельманом [18], использовавшими полиэдральную аппроксимацию. Дальнейшее продвижение осуществлено в работах [19], [21], где получена обобщенная версия основной теоремы существования (теорема 17.24). Обобщенное решение уравнения Монжа-Ампера (17.2) может быть определено как выпуклая функция, нормальное отображение которой абсолютно непрерывно с плотностью Важный стимул к изучению вполне нелинейных равномерно эллиптических уравнений возник в теории стохастического управления. Уравнение Беллмана (17.8) является уравнением для (достаточно гладкой) целевой функции в задаче управления, связанной с системой стохастических дифференциальных уравнений. Первое значительное изучение этих уравнений осуществлено Крыловым и использует методы теории вероятностей, см. книгу [132]. Технику дифференциальных уравнений с частными производными последовательно развивали различные авторы: Брезис и Эванс [48] (получившие оценки в Теория классических решений вполне нелинейных эллиптических уравнений существенно прогрессировала после открытия внутренних, оценок Гёльдера вторых производных, сделанного Эвансом [353], [354] и Крыловым [134], доказавшими, по существу, результаты разделов 17.4, 17.5. Изложение этих результатов в разделах 17.4, 17.5 осуществлено с использованием упрощений, предложенных Трудингером [294]. Для нужд разделов 17.3 и 17.4 использовались оценки первых и вторых производных, полученные с помощью интерполяции, но такие же результаты имеют место и при более общих структурных условиях, аналогичных соответствующим условиям из квазилинейной теории [294], [295]. В частности, условия (17.29) и (17.53) для производных могут быть заменены на следующие условия:
где Недавно теория уравнения Монжа-Ампера со многими независимыми переменными пережила период расцвета. Л. Лионсом [170], [171] был развит метод изучения классической задачи Дирихле с помощью дифференциальных уравнений с частными производными; используя его и используя более ранние работы Нэакельмана, П.Л. Лионе доказал теорему 17.24 для решений класса Работа Каффарелли, Ниренберга и Спрука [116], а также работы Ивочкиной [104], [105] охватьюают случай общих граничных значений Существование решений класса Сведение нелинейных граничных задач к получению априорной оценки в теореме 17.30 осуществлено Фиоренцой [311] (см. также Ладыженская и Уральцева [147]). В нашем изложении мы использовали при доказательстве леммы 17.2 некоторые упрощения Либермана [162], хотя главной идеей работы Либермана является замена метода непрерывного продолжения по параметру другим функционально аналитическим методом, допускающим более слабое, нежели условие (iii) в теореме 17.28, условие. Краевая задача с косой производной для вполне нелинейных уравнений была недавно рассмотрена Лионсом и Трудингером [177], [295] для уравнения Беллмана, Либерманом и Трудингером [165], [295] для общих нелинейных граничных условий и Лионсом, Трудингером и Урбасом [178] - для уравнений типа уравнения Монжа-Ампера. Задачи(см. скан) (см. скан)
|
1 |
Оглавление
|