Доказательство. Для 
определим функцию
Применяя к ней лемму 7.5, имеем
для всех 
Устремляя 
получаем
что и доказывает (7.20) для и. Остальные утверждения следуют из равенств 
Лемма 7.7. Пусть и 
Тогда 
почти всюду на любом множестве, на котором функция и постоянна.
Доказательство. Без ограничения общности можно считать постоянное значение функции равным нулю. Тогда результат сразу следует из (7.20), так как 
Функцию, непрерывную и имеющую кусочно непрерывные первые производные, будем называть кучочно-гладкой. Следующее цепное правило обобщает леммы 7.5 и 7.6.
Теорема 7.8. Пусть функция 
кусочно-гладкая на 
Тогда если и 
то 
Кроме того, если 
множество точек излома функции 
то справедливо равенство
Доказательство. Используя индукцию, можно свести доказательство теоремы к рассмотрению случая одного излома. Без ограничения общности можно считать, что эта угловая точка расположена в начале координат. Пусть функции 
удовлетворяют условиям 
для 
для и 
Тогда, так как 
то утверждение теоремы следует из лемм 7.5 и 7.6.
Объединяя лемму 7.7 и теорему 7.8, мы видим, что если 
функция на 
принимающая конечное число значений, такая, что 
для и то 
Цепное правило в этом виде обобщается на непрерывные по Липшицу функции 
и функции и 
для которых 
Доказательство этого утверждения требует больших сведений из теории меры, нежели мы используем; однако оно является следствием характеризации слабо дифференцируемых функций, данной в задаче 7.8.
Тогда композиция 
а последовательности 
соответственно. Тогда для 
имеем
которую мы обозначим также через 
, сходится почти всюду в 
а так как функция 
непрерывна, то и последовательность 
сходится к 
почти всюду в 
Поэтому последний интеграл стремится к нулю в силу теоремы о мажорированной сходимости. Следовательно, последовательности 
сходятся к 
соответственно, а это и означает, что 
Из леммы 7.5 можно получить следующее правило дифференцирования этих функций.
Тогда 
и
