Доказательство. Для
определим функцию
Применяя к ней лемму 7.5, имеем
для всех
Устремляя
получаем
что и доказывает (7.20) для и. Остальные утверждения следуют из равенств
Лемма 7.7. Пусть и
Тогда
почти всюду на любом множестве, на котором функция и постоянна.
Доказательство. Без ограничения общности можно считать постоянное значение функции равным нулю. Тогда результат сразу следует из (7.20), так как
Функцию, непрерывную и имеющую кусочно непрерывные первые производные, будем называть кучочно-гладкой. Следующее цепное правило обобщает леммы 7.5 и 7.6.
Теорема 7.8. Пусть функция
кусочно-гладкая на
Тогда если и
то
Кроме того, если
множество точек излома функции
то справедливо равенство
Доказательство. Используя индукцию, можно свести доказательство теоремы к рассмотрению случая одного излома. Без ограничения общности можно считать, что эта угловая точка расположена в начале координат. Пусть функции
удовлетворяют условиям
для
для и
Тогда, так как
то утверждение теоремы следует из лемм 7.5 и 7.6.
Объединяя лемму 7.7 и теорему 7.8, мы видим, что если
функция на
принимающая конечное число значений, такая, что
для и то
Цепное правило в этом виде обобщается на непрерывные по Липшицу функции
и функции и
для которых
Доказательство этого утверждения требует больших сведений из теории меры, нежели мы используем; однако оно является следствием характеризации слабо дифференцируемых функций, данной в задаче 7.8.