Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 9.10. Граничные оценки Гёльдера градиентаИнтересные и важные оценки Гёльдера для следа градиента решения на границе могут быть получены из внутренних (или слабых) неравенств Харнака. Этот результат был доказан Крыловым [135] в связи с его исследованиями вполне нелинейных уравнений, которым будет посвящен раздел 17.8. Для этих приложений достаточно ограничиться рассмотрением плоского куска, лежащего на границе, на котором решение обращается в нуль. Будем рассматривать операторы вида
удовлетворяющие условию равномерной эллиптичности (9.47). Для более общего случая соответствующие результаты получаются очевидным способом. Теорема 9.31. Пусть функция и
где Доказательство. Предположим, что функция
для любого
Непосредственными вычислениями проверяется, что справедливо неравенство
Убирая нормировку, мы приходим к требуемому неравенству (9.69). Пусть
Предположим теперь, что
Применяя неравенство (9.70) к функциям
где постоянные Теорема 9.31 в действительности показывает, что градиент
Более того, слагаемое ПримечанияПринципы максимума и теоремы единственности для сильных решений в том виде, в каком они сформулированы в теоремах 9.1, 9.5 и 9.6, были получены Александровым [6], [7]. Важный результат, пересекающийся с результатом леммы 9.3, доказан Бакельманом [20]. Детальный анализ постоянной С из оценки (9.4) имеется в работах [8], [9]. Во всех этих работах можно заменить норму в Неравенство Кальдерона — Зигмунда было получено Кальдероном и Зигмундом [109], и мы в целом воспроизвели их оригинальное доказательство, следуя изложению Стейна [275], использовавшего процедуру разбиения куба (одномерный вариант этого разбиения принадлежит Риссу [247]) и интерполяционную теорему Марцинкевича [181]. Наше доказательство отличается от доказательств, изложенных в [109] и [275], тем, что мы не используем преобразование Фурье для получения оценок в Оценки Поточечные оценки разделов 9.6, 9.7 и 9.8 происходят из фундаментальной работы Крылова и Сафонова (см. [138], [139], [260]), получивших оценки Гёльдера и неравенства Харнака, изложенные в следствиях 9.24 и 9.25, для случая следует [293] и основано на их идеях. Локальный принцип максимума (теорема 9.20) был доказан в [293] при более общих условиях на коэффициенты: В это издание мы включили доказательство оценки Гёльдера градиента, принадлежащее Крылову [135], учитывая упрощения, осуществленные Каффарелли. Оригинальное доказательство Крылова было дано в английском втором издании нашей книги в виде задачи. Задачи(см. скан) (см. скан)
|
1 |
Оглавление
|