9.10. Граничные оценки Гёльдера градиента

Интересные и важные оценки Гёльдера для следа градиента решения на границе могут быть получены из внутренних (или слабых) неравенств Харнака. Этот результат был доказан Крыловым [135] в связи с его исследованиями вполне нелинейных уравнений, которым будет посвящен раздел 17.8. Для этих приложений достаточно ограничиться рассмотрением плоского куска, лежащего на границе, на котором решение обращается в нуль. Будем рассматривать операторы вида

удовлетворяющие условию равномерной эллиптичности (9.47). Для более общего случая соответствующие результаты получаются очевидным способом.

Теорема 9.31. Пусть функция и удовлетворяет уравнению полушаре функция принадлежит на Тогда для любого имеем

где положительные постоянные, зависящие только от

Доказательство. Предположим, что функция ограничена в (локальная ограниченность этой функции может быть получена с помощью барьеров, построенных в разделе 6.3). Предположим сначала, что и докажем следующее утверждение: существует число

такое, что

для любого где Чтобы доказать неравенство (9.69), нормируем функцию так, чтобы и Рассмотрим в барьер

Непосредственными вычислениями проверяется, что справедливо неравенство для достаточно малого и неравенство на Отсюда в силу принципа максимума (теорема 9.1) вытекает неравенство в Таким образом, на для достаточно малого 8 справедливо неравенство

Убирая нормировку, мы приходим к требуемому неравенству (9.69). Пусть Так как в то в силу неравенства Харнака (следствие 9.25) получаем неравенство

Предположим теперь, что Обозначим

Применяя неравенство (9.70) к функциям складывая получившиеся неравенства, приходим к оценке колебания решения вида

где постоянные зависят только от . Отсюда с помощью леммы 8.23 получается неравенство (9.68).

Теорема 9.31 в действительности показывает, что градиент решения существует на и непрерывен на по Гельдеру, причем справедлива оценка

Более того, слагаемое в правой части неравенства (9.68) и в правой части неравенства (9.71) может быть заменено на или на Глобальные оценки (оценки вплоть до границы) могут быть получены из теоремы 9.31 с помощью соответствующих внутренних оценок, которые обычно и имеют место для нелинейных уравнений (см. задачу 13.1 и раздел 17.8).

Примечания

Принципы максимума и теоремы единственности для сильных решений в том виде, в каком они сформулированы в теоремах 9.1, 9.5 и 9.6, были получены Александровым [6], [7]. Важный результат, пересекающийся с результатом леммы 9.3, доказан Бакельманом [20]. Детальный анализ постоянной С из оценки (9.4) имеется в работах [8], [9]. Во всех этих работах можно заменить норму в на норму в где [10]. Пример (8.22) показывает, что теорема единственности (теорема 9.5) для где может не иметь места. Другие варианты принципа максимума (теорема 9.1) были даны Бони и Пуччи [244].

Неравенство Кальдерона — Зигмунда было получено Кальдероном и Зигмундом [109], и мы в целом воспроизвели их оригинальное доказательство, следуя изложению Стейна [275], использовавшего процедуру разбиения куба (одномерный вариант этого разбиения принадлежит Риссу [247]) и интерполяционную теорему Марцинкевича [181]. Наше доказательство отличается от доказательств, изложенных в [109] и [275], тем, что мы не используем преобразование Фурье для получения оценок в Оператор появляющийся в доказательстве теоремы 9.9, является специальным случаем сингулярных интегральных операторов, которые были главным объектом изучения в [109] и в [275]. Другие доказатель ства неравенства Кальдерона Зигмунда имеются в монографиях [32], [208]. В более позднем доказательстве этого неравенства, также основанном на интерполяции, используется пространство функций ограниченного среднего колебания (см. [113], [302]).

Оценки для решений эллиптических уравнений второго порядка, изложенные в разделе 9.4, были получены Кошелевым [130] и Греко [72]. Они обобщались на уравнения высокого порядка и на системы различными авторами, в том числе Слободецким [266], Браудером [45] и Агмоном, Дуглисом и Ниренбергом [2], [3]. Теорема существования (теорема 9.15) имеется у Чикко [341], [342]. Наше доказательство отличается от его доказательства. П. Л. Лионе [166] предложил другие методы изучения задачи Дирихле. Доказательство гладкости, осуществленное в лемме 9.16, следует работе Морри [208], рассматривавшему также и теорию в

Поточечные оценки разделов 9.6, 9.7 и 9.8 происходят из фундаментальной работы Крылова и Сафонова (см. [138], [139], [260]), получивших оценки Гёльдера и неравенства Харнака, изложенные в следствиях 9.24 и 9.25, для случая . В действительности в [138], [139] изучена более общая ситуация параболических уравнений. Наше изложение в разделе 9.7

следует [293] и основано на их идеях. Локальный принцип максимума (теорема 9.20) был доказан в [293] при более общих условиях на коэффициенты: Оценки раздела 9.7 могут быть обобщены на случай, когда хотя для доказательств в этих случаях существенным является условие равномерной эллиптичности. Обобщения на квазилинейные уравнения рассматривались в [293], [150] и [182] (см. также гл. 15).

В это издание мы включили доказательство оценки Гёльдера градиента, принадлежащее Крылову [135], учитывая упрощения, осуществленные Каффарелли. Оригинальное доказательство Крылова было дано в английском втором издании нашей книги в виде задачи.

Задачи

(см. скан)

(см. скан)