Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 17.4. Оценки Гёльдера вторых производныхВ этом разделе мы получим внутренние оценки Гёльдера для вторых производных решений вполне нелинейных эллиптических уравнений при условии, что функция
где (i) оператор
(ii) функция Пусть
Матрица
неположительна в силу вогнутости функции
Воспользуемся слабым неравенством Харнака из раздела 9.7. Пусть
Применив теорему 9.22 к функции
Для получения из (17.36) оценки Гёльдера для производных и. Сначала, используя вогнутость
Установим связь между чистыми вторыми производными с помощью следующего матричного результата (см. [211]). Лемма 17.13. Пусть
где Доказательство леммы 17.13 отложим до конца этого раздела. Применив лемму 17.13 к матрице из (17.37) получаем неравенство
где
видим, что каждая функция
где
В силу (17.39) для
так что
Поэтому
где постоянная С снова зависит только от
из которого следует, что
где
где В терминах внутренних норм Гёльдера оценки (17.41) можно записать в виде
где С и а. зависят от Перейдем теперь к общему уравнению (17.1) с функцией (i) оператор
(ii) функция Вновь дважды продифференцируем в направлении единичного вектора
Используя вогнутость
где
С третьими производными и в (17.45) поступаем аналогично тому, как поступали со вторыми производными при получении оценок Гёльдера градиента (теорема 13.6). Сначала возьмем векторы
(чтобы обеспечить конечность величины
где
Здесь функции
где
а в силу эллиптичности (17.43)
Поэтому, взяв
Отсюда по неравенству Коши
где Теперь мы можем использовать слабое неравенство Харнака (теорема 9.22). Пусть
Применяя теорему 9.22 к функциям
где
из (17.49) получаем аналогичное неравенство для функций а именно
Суммируя по к
где постоянная
где
Теперь в силу леммы 17.13 и благодаря сделанному выбору
где
где
где
где
Отсюда
где
где
где Теорема 17.14. Пусть функция и
где а зависит только от Из (17.51) выводится более точная форма оценки (17.52), в которой устанавливается зависимость постоянной С от
и поэтому в (17.46) получим
Следовательно, при выполнении дополнительных структурных условий
для всех ненулевых
где постоянная а зависит только от Теорема 17.15. Пусть функция и
где постоянная Отметим, что оценка (17.54) может быть в действительности доказана при более общих условиях, соответствующих естественным условиям для квазилинейных уравнений (см. примечания). Мы завершим этот раздел доказательством леммы 17.13. Доказательство леммы 17.13. Пусть
где
то после соответствующей замены базиса получим формулу (17.55). Следовательно, совокупность множеств вида
где матрицы
где
взяв достаточно малое X (достаточно взять
|
1 |
Оглавление
|