17.4. Оценки Гёльдера вторых производных

В этом разделе мы получим внутренние оценки Гёльдера для вторых производных решений вполне нелинейных эллиптических уравнений при условии, что функция вогнутая (или выпуклая) функция переменных Это ограничение, не являющееся необходимым в случае двух переменных, рассмотренном в предыдущем разделе, оказывается достаточным, чтобы можно было рассмотреть уравнения типа уравнения Монжа — Ампера и Беллмана — Пуччи. Для демонстрации основной идеи метода рассмотрим сначала уравнение частного вида

где Предположим, что:

(i) оператор равномерно эллиптичен на функции , т. е. существуют положительные постоянные такие, что

(ii) функция вогнута на функции и в том смысле, что вогнутая функция на области значений

Пусть — произвольный единичный вектор в Дважды продифференцируем уравнение (17.32) в направлении 7. Получим:

Матрица

неположительна в силу вогнутости функции Поэтому функция удовлетворяет в дифференциальному неравенству

Воспользуемся слабым неравенством Харнака из раздела 9.7. Пусть концентрические шары в радиусов соответственно. Введем для величины

Применив теорему 9.22 к функции получим

Для получения из (17.36) оценки Гёльдера для нам потребуется соответствующее неравенство для — которое мы получим, рассматривая уравнение (17.32) как функциональную связь для вторых

производных и. Сначала, используя вогнутость для любых получим

Установим связь между чистыми вторыми производными с помощью следующего матричного результата (см. [211]).

Лемма 17.13. Пусть множество положительно определенных матриц в с собственными значениями, лежащими на отрезке Тогда существуют конечное множество единичных векторов и положительные числа зависящие только от такие, что любая матрица может быть представлена в виде

где Кроме того, векторы можно выбрать так, что среди бдуг все координатные векторы и векторы

Доказательство леммы 17.13 отложим до конца этого раздела. Применив лемму 17.13 к матрице из (17.37) получаем неравенство

где функции удовлетворяют неравенствам а векторы и числа зависят только от Полагая

видим, что каждая функция удовлетворяет (17.36), так что, просуммировав по некоторое фиксированное число, получаем неравенства

где

В силу (17.39) для имеем

так что

Поэтому

где постоянная С снова зависит только от Полагая в складывая получающееся неравенстцо с (17.40) и суммируя по мы в итоге приходим к неравенству

из которого следует, что

где . Оценки Гёльдера для функций получаются теперь с помощью леммы 8.23 и заключительного утверждения леммы 17.13. В итоге получаем оценку Гёльдера для в произвольном шаре для любого выполняется неравенство

где положительные постоянные, зависящие только от

В терминах внутренних норм Гёльдера оценки (17.41) можно записать в виде

где С и а. зависят от

Перейдем теперь к общему уравнению (17.1) с функцией Предположим (ср. с (i) и (ii)), что:

(i) оператор равномерно эллиптичен на функции так что существуют положительные постоянные такие, что

(ii) функция вогнутая функция переменных на области значений

Вновь дважды продифференцируем в направлении единичного вектора . Получим уравнения

Используя вогнутость вместо (17.35) получим в рассматриваемом случае дифференциальное неравенство

где

С третьими производными и в (17.45) поступаем аналогично тому, как поступали со вторыми производными при получении оценок Гёльдера градиента (теорема 13.6). Сначала возьмем векторы в соответствии с утверждением леммы 17.13, примененной к матрице Пусть

(чтобы обеспечить конечность величины заменим, если необходимо, область ее подобластью). Тогда из (17.45) следует

где

Здесь функции вычисляются в точке Умножим теперь (17.46) на и просуммируем по от 1 до Получим

где . В силу сделанного выбора векторов мы можем оценить

а в силу эллиптичности (17.43)

Поэтому, взяв и объединяя (17.46) и (17.47), получаем

Отсюда по неравенству Коши

где

Теперь мы можем использовать слабое неравенство Харнака (теорема 9.22). Пусть концентрические шары в Для положим

Применяя теорему 9.22 к функциям получаем

где и С — положительные постоянные, зависящие только от Используя неравенства

из (17.49) получаем аналогичное неравенство для функций а именно

Суммируя по к некоторое фиксированное число, приходим к неравенству

где постоянная такая же, как и вьппе. Чтобы компенсировать отсутствие неравенства, соответствующего (17.48), для функций мы снова прибегнем к уравнению (17.1) и, воспользовавшись вогнутостью функции (условие запишем

где

Теперь в силу леммы 17.13 и благодаря сделанному выбору имеем

где отношения зависят только от Следовательно, для

где и поэтому для фиксированного

где Отсюда, в силу (17.50), для получаем

где Прибавляя полученное неравенство для к (17.49) и суммируя по к, приходим к неравенству

Отсюда

где Наконец, зафиксировав вновь приходим к оценке осцилляции

где а постоянные зависят только от Требуемая оценка Гёльдера получается теперь непосредственно из леммы 8.23. Именно: для любого шара и любых справедлива оценка

где - положительные постоянные, зависящие только от Итоговый результат о внутренней оценке сформулируем в следующей теореме.

Теорема 17.14. Пусть функция и удовлетворяет в уравнению оператор эллиптичен на функции и и выполняются условия Тогда в любой подобласти справедлива оценка

где а зависит только от а постоянная С дополнительно зависит от и первых и вторых производных функции отличных от

Из (17.51) выводится более точная форма оценки (17.52), в которой устанавливается зависимость постоянной С от и от производных функции Если ввести дополнительные предположения о вогнутости функции то в выражениях для в (17.46) можно убрать некоторые слагаемые. Например, если функция вогнута по совокупности то в (17.45) можно взять

и поэтому в (17.46) получим

Следовательно, при выполнении дополнительных структурных условий

для всех ненулевых где X — невозрастающая функция неубывающие функции можно утверждать, что имеет место внутренняя оценка, обобщающая оценку (17.42), вида

где постоянная а зависит только от а постоянная С зависит дополнительно от . С помощью внутреннего интерполяционного неравенства (лемма 6.32) получаем следующую внутреннюю оценку.

Теорема 17.15. Пусть функция и удовлетворяет в уравнению Предположим, что функция вогнута (или выпукла) по и выполнены структурные условия (17.53). Тогда имеет место внутренняя оценка

где постоянная зависит только от а постоянная С зависит дополнительно от

Отметим, что оценка (17.54) может быть в действительности доказана при более общих условиях, соответствующих естественным условиям

для квазилинейных уравнений (см. примечания). Мы завершим этот раздел доказательством леммы 17.13.

Доказательство леммы 17.13. Пусть конус положительно определенных матриц в Любую матрицу можно представить в виде

где а диадические матрицы линейно независимы. Чтобы увидеть это, мы покажем, что любые две матрицы в подобны, и поэтому каждая матрица подобна, в частности, матрице у которой диагональные и недиагональные элементы равны и 1 соответственно. Но так как

то после соответствующей замены базиса получим формулу (17.55). Следовательно, совокупность множеств вида

где матрицы линейно независимы, образует открытое покрытие множества а так как множество компактно, то существует конечное подпокрытие множества покрытия. Поэтому существует фиксированное множество единичных векторов зависящих только от X, Ли и, таких, что любая матрица может быть записана в виде

где Чтобы доказать утверждение леммы, заметим, что мы можем вначале применить описанную процедуру к матрице

взяв достаточно малое X (достаточно взять ). Отметим также, что мы можем взять Аналогичное рассуждение показывает, что в число векторов может быть включено любое конечное число единичных векторов.