17.8. Глобальные оценки Гёльдера вторых производных

В этом разделе мы получим глобальный аналог оценок Гёльдера вторых производных теоремы 17.14 для уравнений типа уравнений Монжа — Ампера. Методы автоматически охватьюают уравнения общего вида 17,1, если условие (ii) в теореме 17,14 заменить более сильным условием

с некоторой положительной постоянной и для всех симметрических матриц . В силу (17.65) уравнения типа уравнения Монжа - Ампера, записанные в виде (17,64), удовлетворяют условию (17.85) с постоянной где — максимальное собственное значение Так

как из условий для глобальной оценки Гёльдера вторых производных следуют с помощью линейной теории более сильные оценки третьих производных, то итоговый результат удобно сформулировать следующим образом.

Теорема 17.26. Пусть ограниченная область в с границей и пусть Предположим, что функция и удовлетворяет уравнению на причем оператор эллиптичен на функции и и выполняются условия и (17.85). Тогда имеет место оценка

где постоянная С зависит от и первых и вторых производных

Доказательство. Пусть у — единичный вектор в Мы можем, подставляя (17.85) в (17.43), усилить неравенство (17.44) и получить неравенство

с помощью неравенства Коши, причем постоянная С зависит от и величин из (17.46). Зафиксируем точку Предположим, что внешний шар для точки Модули непрерывности производных могут быть оценены на границе (через их след на стандартным способом с помощью барьеров, так, как описано, например, в замечании 3 к разделу 63. Как показано в этом разделе, функция из (6.45), определенная формулой удовлетворяет в неравенству для достаточно больших зависящих от Поэтому если для то из (17.87) и из классического принципа максимума (теорема 3.1) мы получим оценку

в произвольной точке с постоянной С, зависящей от и Теперь, выбирая векторы в соответствии с леммой 17.3 и используя само уравнение (17.1), как в доказательстве теоремы 17.14, мы получаем из (17.88) оценку

в произвольной точке где постоянная С зависит дополнительно от величины из доказательства теоремы 17.14.

Оценка (17.89) сводит оценку модуля непрерывности вторых производных на границе к таким же оценкам их следов на Похожий результат можно установить также с помощью слабого неравенства Харнака на границе (теорема 9.27) и, более того, если можно доказать без требования условия (17,85), Далее для получения односторонней оценки третьей производной мы вновь воспользуемся Без ограничения общности можно предположить, что функция и равна нулю на и что граница

является плоской в окрестности точки для некоторого

Это всегда можно добиться, ибо вид уравнения (17.1) вместе с (17,85) и условиями теоремы 17 8 сохраняется при замене и на и при замене независимых перехменных с помощью функции класса Новые постоянные будут, очевидно, зависеть от (в частности, от а также и от их исходных значений. Взяв у совпадающим с тангенциальными направлениями на так что на мы из (17,88) получаем неравенство для поэтому

где постоянная С зависит от а также от величин из (17,88), Обозначив мы видим, что для достаточно больших к для ; следовательно, функция имеет выпуклый след на Кроме продифференцированного уравнения (17 23) еле дует, что функция удовлетворяет равномерно эллиптическому уравнению и поэтому где постоянная С зависит от величин, входящих в формулировку теоремы 17.26. Описанные выше свойства функции используются с помощью следующей замечательной леммы, доказательство которой мы откладываем до конца этой главы.

Лемма функция удовлетворяет неравенству

оператор равномерно эллиптичен в а отношение ограничено. Тогда если функция выпукла, то для любых справедлива оценка

с постоянной С, зависящей только от

Лемма 17,27 обеспечивает оценку модуля непрерывности в точке сужений на вторых производных Аналогичная оценка для оставшейся нетангенциальной производной следует непосредственно из самого уравнения (17,1), Но тогда из оценки (17.80) следует оценка модуля непрерывности матрицы Гессе в граничной точке через величины, указанные в утверждении теоремы 1726, Эта оценка, в свою очередь, приводит к оценке модуля непрерывности старших коэффициентов продифференцированного уравнения (17.32). Мы можем тогда использовать теорию частности, теорему 9.13, для получения оценок в третьих производных в окрестности точки при любом Аналогичные оценки для оставшейся третьей производной вновь получаются из (17.23), Используя оценку Морри (теорема 7.19), мы получим, таким образом, оценки Гёльдера для и в точке с любым показателем Объединяя их с внутренней

оценкой (теорема 17.14) подобно тому, как это делалось в доказательстве теоремы 8,29, мы, наконец, получаем глобальную оценку в для любого Чтобы завершить доказательство теоремы 17.26, мы применим теорию Шаудера к продифференцированному уравнению (17.23), в результате чего и получим глобальные оценки в при любом

Доказательство леммы 17.27. Так как функция выпукла, то производные существуют почти всюду на и поэтому неравенство (17.92) достаточно доказать для таких точек х, у. Полный результат для всех х, у получается на основании выпуклости и непрерывности.

Мы можем предположить, что х = 0 и что выполняются равенства

(последнего всегда можно добиться с помощью вычитания из соответствующей линейной функции). Осуществив поворот координат, мы можем далее предполагать, что где Далее мы будем пользоваться одной и той же буквой С для обозначения различных постоянных, зависящих только от величин, указанных в утверждении леммы.

если величина достаточно мала. Из этого неравенства следует (17.92). Так как случай не нуждается в доказательстве, то будем далее предполагать, что

Записывая для из выпуклости на Тполучаем, что и что

величина 0 определяется этим равенством. Полагая здесь получаем, что

Рассмотрим функцию

Функция будет барьером, если соответствующим образом, в зависимости только от постоянных леммы, выбрать постоянные причем

и

Предположив на момент, что можно таким образом выбрать постоянные для функции из принципа максимума получаем, что в В, Так как то, положив в (17.97), поделив на и осуществив

предельный переход получаем

или

Учитывая (17,96), получаем

что и доказывает (17,94).

Осталось определить постоянные для функции Обозначив прямым вычислением убеждаемся, что так что при выполняется неравенство Теперь, взяв достаточно большую постоянную и постоянную мы можем удовлетворить неравенствам

Для доказательства неравенства (17.99) сначала заметим, что оно имеет место при

На полусферической части границы выполняется неравенство коль скоро постоянная достаточно мала (в зависимости от выбора постоянной . Так как другие слагаемые функции при ограничены величиной то, взяв достаточно большую постоянную мы приведем к неравенству и на чем и завершается доказательство (17.94).

Наконец, заметим, что из (17.94) следует оценка (17.92) при а из оценки следует та же оценка в при Доказательство предыдущей леммы взято почти без изменений из [116]. Другой метод. Метод получения глобальных оценок Гёльдера вторых производных, описанный выше, принадлежит Каффарелли, Ниренбергу и Спруку [116]. Покажем, однако, что фундаментальные оценки Гёльдера для смешанных тангенциально-нормальных вторых производных на границе легко следуют из теоремы 9.31, Соответствующий метод, принадлежащий Крылову [135], позволяет, кроме того, получить глобальную регулярность решений уравнения Беллмана . В действительности справедлив более сильный вариант теоремы 17.6,

Теорема 17.26. Пуст ограниченная область в с границей и пусть Предположим, что функция и

удовлетворяет в уравнению и равенству на Пусть оператор эллиптичен на функции и и удовлетворяет условиям Тогда справедлива оценка

где постоянная а зависит только от а постоянная С зависит, кроме того, от а и первых и вторых производных функции отличных от

До к а зательство. Ситуация упрощается так же, как в доказательстве теоремы 17.26, с помощью рассмотрения производных на плоском граничном куске Однако здесь, вместо рассмотрения дифференциального неравенства (17.91) для нормальной производной и использования леммы 17.27, мы рассмотрим равномерно эллиптическое дифференциальное уравнение

которому удовлетворяют тангенциальные производные воспользуемся теоремой 9.31. Тогда глобальная оценка Гёльдера для получается не зависящей от модуля непрерывности старших коэффициентов дифференциального уравнения (17,23).

Отметим, что с помощью специальных видов оценок (9.68), (17.51) можно исключить использование барьеров в начале доказательства теоремы 17.26 (см. задачу 13.1, в которой и заменяется на или см. [295]). Доказательство теоремы 17.26 можно также модифицировать так, что будет не нужно ограничение (17.85). Чтобы убедиться в этом, вспомним, что чистые вторые производные удовлетворяют в равномерно эллиптическим неравенствам вида

в которых для в чем можно убедиться, продифференцировав уравнение Коэффициенты и постоянная С могут быть ограничены величинами, входящими в утверждение теоремы 17.26 (исключая величину Рассмотрим функцию как функцию переменных в области и продолжим на 12 введенный выше оператор, положив

где постоянная выбрана так, чтобы оператор был равномерно эллиптичен в . С помощью соответствующего продолжения барьера на , например по формуле с постоянной мы вновь можем получить одностороннюю оценку третьей производной после чего завершение доказательства теоремы 17.26 следует автоматически.

В качестве следствия теоремы 17.26 можно получить глобальную гладкость решений задачи Дирихле в теоремах 17.17, 17.18 в случае, когда граничные функции являются достаточно гладкими. Действительно, если оператор удовлетворяет структурным условиям (17.53), можно с

помощью интерполяции добиться того, что постоянная С в (17.86) будет зависеть от а не от кроме того, эта оценка будет равномерной относительно аппроксимации задачи Дирихле (17,61), рассмотренной в части 17.5. Таким образом получаем, например, следующий аналог теоремы 17,18.

Теорема 17,18. Пусть ограниченная область в с границей и пусть Предположим, что функции вогнуты по не возрастают по z и равномерно удовлетворяют структурным условиям (17.53), Тогда классическая задача Дирихле (17.61) однозначно разрешима, решение и принадлежит , где а - некоторый положительный показатель, зависящий только от