15.3. Внутренние оценки градиента

Внутренняя оценка градиента для решений класса уравнения (15.1) может быть также получена из уравнения (15,24). Пусть шар, строго вложенный в и пусть - функция, принадлежащая такая, что на Типичным примером такой функции, используемой далее, является функция

Рассмотрим функцию определенную равенством

Ясно, что на и что производное функции вычисляются по формулам

Подчеркнем, что для обеспечения существования вторых производных мы требуем, чтобы Это ограничение может быть, однако, снято, если воспользоваться слабой формой уравнения (15.24). Умножим уравнение (15.24) на . Учитывая,что , получаем уравнение

где функции определены в (1526). В этом месте введем дальнейшие скалярные множители Если произвольные скалярные функции, определенные на то, используя уравнение (15.17) и обозначая можем записать, что

(см. скан)

Следовательно,после подстановки в уравнение (15.41) получим

(см. скан)

где

и

Вместо неравенства (1525) приходим к неравенству

в котором функция определяется равенством !

и

(см. скан)

Если не существует специальных соотношений между функцией и коэффициентами оператора то мы потребуем выполнения дополнительных структурных условий, обеспечивающих тот факт, что коэффициенты ведут себя так же, как коэффициенты . Поэтому, дополнительно к структурным условиям (15.32), предположим, что выполнены условия

для и некоторого числа Как и в (15.32), предельное поведение понимается равномерным для

Используя (15.47) и функцию определенную равенством (15.40) с постоянной мы можем тогда (для достаточно больших значений оценить:

где постоянная С зависит от и величин из (15.32) и (15.47). Поэтому, применив рассуждения, аналогичные рассуждениям предыдущего раздела, получим, вместо (15.24), оценку

предполагая, что или или величина и меньше некоторой постоянной, зависящей от Кроме того, можно, очевидно, заменить шар произвольным шаром, пересекающимся с . В итоге получим, что в любой точке справедлива аналогичная оценка с постоянной С, зависящей дополнительно и от Отметим, что если вместо использовать (15.30), то предыдущие рассмотрения применимы к решениям класса Итак, справедлива следующая оценка.

Теорема 15.3. Пусть функция и удовлетворяет уравнению (15.1) в области Предположим, что оператор эллиптичен в и что существуют скалярные множители такие, что выполнены структурные условия (15.32) и (15,47). Тогда если выполнено любое из условий: (числа с определены в и (1533)), то справедлива оценка

в любой точке , и любом шаре с постоянной С, зависящей от величины из (15 32), (15.47), от Для произвольных с оценка (15.49) имеет место для достаточно малого в зависимости от с и от модуля непрерывности функции и в точке у.

При выполнении естественных условий для равномерно эллиптических уравнений оценки модуля непрерывности их решений (и, следовательно, оценка градиента) следуют из результатов раздела 9.7. Справедлива следующая оценка, которая в определенном смысле обобщает замечание 9.25.

Лемма 15.4. Пусть функция и удовлетворяете неравенству

оператор определенный равенством удовлетворяет (9.47), число функция Тогда для любого шара и любого справедлива оценка

где постоянные С и а зависят от

Доказательство. Предположим сначала, что функция и неотрицательна и удовлетворяет в неравенству

где Положим Тогда так что к функции применимо слабое неравенство Харнака (теорема 9.22). Так как то слабое неравенство Харнака (9.48) имеет место и для функции с постоянной С, зависящей дополнительно от Отсюда следует оценка Гель дера (15.51).

Объединяя теорему 15.3 и лемму 15.4, получаем внутреннюю и глобальную оценки градиента при условиях

при — некоторое положительное число.

Теорема 15.5. Пусть функция и удовлетворяет уравнению (15.1) в области Пусть оператор эллиптичен в и удовлетворяет структурным условиям (15.53) с множителями Тогда в любой точке , выполняется неравенство

с постоянной С, зависящей от величин из (15.53), от то

где постоянная С зависит дополнительно от