ГЛАВА 16. УРАВНЕНИЯ ТИПА УРАВНЕНИЯ СО СРЕДНЕЙ КРИВИЗНОЙ

В этой главе мы сконцентрируем внимание на уравнении поверхностей с заданной средней кривизной

и на семействе родственных уравнений с двумя независимыми переменными. Нашей главной целью являются внутренние оценки производных решений. Мы увидим, что можно не только получить внутренние оценки градиента решений этих уравнений, но и что их нелинейность приводит к сильным внутренним оценкам вторых производных, отличных от таких оценок для равномерно эллиптических уравнений, таких как уравнение Лапласа. В частности, мы получим обобщение классического результата С. Н. Бернштейна о том, что решение класса в уравнения минимальных поверхностей, принадлежащее классу является линейной функцией (теорема 16.12).

Метод получения внутренних оценок градиента, развиваемый в этой главе, значительно отличается от методов гл. 15 (хотя и имеет много общих черт с методом для уравнений дивергентной формы из раздела 15.4). Внутренняя оценка градиента для решения уравнения (16.1), теорема 16.5, получается с помощью рассмотрения тангенциального градиента и оператора Лапласа на гиперповерхности в являющейся графиком решения Основные оценки на поверхностях получены в разделе 16.1.

Изучение общего класса уравнений типа уравнения поверхностей с заданной средней кривизной производится в разделе 16.4. Внутренние оценки первых и вторых производных (теоремы 16.20 и 16.21) получаются в разделе 16.5 с помощью рассмотрения квазиконформных отображений поверхностей в обобщающих соответствующие рассмотрения из раздела 12.1.

Разделы и часть раздела 16.1 этой главы написаны в сотрудничестве с Л.М. Саймоном и по существу являются изложением его исследований.

16.1. Гиперповерхности в R^n+1

Подмножество пространства называется гиперповерхностью класса если локально представляется в виде графика функции класса С, заданной на открытом подмножестве

Наше внимание будет сосредоточено на поверхностях класса Для удобства будем предполагать, что гиперповерхность может быть локально представлена как поверхность уровня функции класса Это значит, что существуют открытое подмножество пространства и функция с ненулевым на градиентом такие, что

В этой главе гиперповерхность будет всегда пониматься как график функции и где область в этом случае мы можем взять и записать

Если гиперповерхность задана соотношением (16.2), то нормаль (направленная в сторону возрастания функции ), определяется равенством

Пусть Тангенциальным градиентом функции на называется вектор

В произвольной точке , тангенциальный градиент является проекцией градиента на плоскость, касательную к в точке у. Ясно, что

и

так что

и

если

Отметим, что вектор зависит только от значений функции на поверхности Чтобы убедиться в этом, предположим, что функция принадлежит и удовлетворяет на равенству Тогда где k — некоторая постоянная. Поэтому

Далее, в силу формулы (14.102) из раздела 14.6, имеем:

где средняя кривизна в направлении вектора Следовательно, справедлива формула

В следующей лемме доказывается формула интегрирования по частям для дифференциального оператора 8.

Лемма 16.1. Пусть элемент площади Тогда для всех справедливо равенство

Доказательство. Докажем формулу (16.10) в случае, когда является графиком функции класса В общем случае доказательство получается с помощью разбиения единицы. Предположим, что функция имеет вид (16.3), так что в точках

где Определим функцию равенством

Тогда следовательно, Поэтому для

(в силу формулы интегрирования по частям)

Для имеем

Отметим, что случай леммы 16.1 эквивалентен интегральной форме уравнения поверхностей с заданной средней кривизной.

Пусть Лапласиан (или оператор Лапласа - Бельтрами) на в на функции определяется равенством

Из формулы интегрирования по частям (16.10) и из (16.5) следует, что

Перейдем к выводу некоторых важных неравенств с операторами на . Эти неравенства являются полезными обобщениями неравенств для средних значений (теорема 2.1) и представлений в виде потенциалов, лемма 7.14, на случай гиперповерхностей в

Если — точка на то справедливы равенства

так как в силу (16.6)

Пусть неотрицательная невозрастающая функция из с носителем на интервале Положим

где причем Тогда в силу (16.14) имеем

В частном случае, минимальная поверхность, т. е. неравенство (16.15) имеет вид

Соотношения (16.15) и (16.16) играют фундаментальную роль при выводе внутренних оценок. Проиллюстрируем сказанное на примере минимальной поверхности, т. е. в случае, когда Пусть неотрицательная функция из Предположим, что

для всех неотрицательных Полагая в

непосредсгвенно из (16.16) получаем неравенство

означающее, что функция определенная равенством

является неубывающей функцией Взяв в качестве х функции, аппроксимирующие соответствующим образом характеристическую функцию интервала получаем, что функция определенная равенством

также не убывает. Так как

для почти всех (относительно точек у получаем неравенство для среднего значения

справедливое для почти всех в и таких что Функцию будем называть субгармонической (гармонической) на гиперповерхности если на Из (16.13) вытекает следующий результат.

Лемма 16.2. Пусть неотрицательная субгармоническая функция на минимальной поверхности класса Тогда в произвольной точке , для любого мара такого, что выполняется неравенство (16.21).

Если гиперповерхность является гиперплоскостью, то неравенство (16.21) превращается в неравенство для средних значений для неотрицательных субгармонических функций, заданных в евклидовом пространстве Заметим, однако, что в этом случае не нужно предполагать, что функция является неотрицательной. Если положительная постоянная, то из (16.21) следует неравенство

где мера Далее будем писать и использовать сокращенную запись там, где это не вызывает недоразумений.

Рассмотрим теперь случай общей поверхности и функции класса Хотя процедура, использованная выше для минимальной поверхности, может быть обобщена и на этот случай, мы поступим иначе, в связи с чем дадим другое доказательство леммы 16.2.

Пусть у - точка на Предположим, что шар Пусть х - неотрицательная невозрастающая функция из с носителем в

интервале Определим функцию равенством

В силу (16.15) имеем:

Поэтому, подставив в (16.13), получаем равенство

Если функцию x взять так, что

где то полученное равенство можно записать в виде

Равенство (16.25) наводит на мысль взять функцию х удовлетворяющей равенству в интервале . В соответствии с этим определим функцию

Мы не можем в (16.25) просто заменить функцию х на Однако можно заменить х на функции последовательности неотрицательных невозрастающих функций класса , носители которых лежат на и которые имеют равномерно ограниченные производные. Требуя далее, чтобы последовательность равномерно сходилась последовательность производных сходилась поточечно к функции

из (16.25) получаем, что

где Устремляя получаем

где

В качестве непосредственного следствия тождеств (16.27) и (16.23) мы и получаем утверждение леммы 16.2. Используя неравенство

из (16.27) можно вывести оценку

Итак, мы доказали следующее обобщение леммы 16.2.

Лемма 16.3. Пусть неотрицательная функция из Тогда для любой точки , и любого шара выполнено неравенство (16.29).

С помощью утверждения леммы 16.3 в следующем разделе будет осуществлен вывод внутренней оценки градиента. Заметим, что для функции последнее слагаемое в (16.29) можно записать в виде

Далее в этой главе для изучения уравнений с двумя переменными потребуются и другие следствия неравенств (16.26) и (16.29). В частности, полагая в неравенстве (16.29), получаем

Полагая здесь получаем неравенство

где а мера Следовательно, если поверхность является компактной поверхностью в (или, более обобщенно, если при то справедливо неравенство

Кроме того, можно показать, что равенство в (16.32) имеет место тогда и только тогда, когда поверхность является сферой [280].

Определим далее величину равенством (16.19). Из (16.26) и (16.28) получим, что

Воспользовавшись неравенством Юнга (7.6), получаем оценку

Отметим, что последнее слагаемое в (16.33) может быть заменено на величину если При неравенство (16.33) имеет вид

Получим оценку величины

Выбирая х так же, как и в доказательстве леммы 16.2, и используя (16.13) и (16.5), имеем

Заменяя х функциями последовательности функций, приближающей характеристическую функцию интервала получим, что функция может быть определена для всех Кроме того, справедливы неравенства

В частности, при получаем

Соотношения (16.27), (16.29) и (16.30) потенциального типа до некоторой степени аналогичны соотношениям из лемм Действительно, для получения аналога оценки Морри (теорема 7.19) для двумерных поверхностей мы будем теперь пользоваться неравенством (16.30). Следующая лемма будет использована в разделе 16.5 при выводе оценки Гёльдера для обобщенных квазиконформных отображений.

Лемма 16.4. Пусть Предположим, что существуют постоянные и такие, что

для всех и всех Тогда

где С - постоянная, а компонента содержащая точку у. Доказательство. Запишем (16.30) в виде

и для определим величины

Если то лемма 16.4 доказывается с постоянной с помощью неравенства (1634), Если! возьмем такое наибольшее целое число что

и разобьем интервал на попарно различных интервалов длины Для каждого определим функцию как неотрицательную функцию из с носителем, вложенным в такую, что и . (Такая функция существует, ибо длинане меньше как множество связно, то для каждого существует точках такая, что Тогда, используя неравенство (16,39), в котором заменены: точкам на точку на на получаем

для всех Отсюда на основании (16.37) получаем

Объединяя последние два неравенства, приходим к оценке

из которой вытекает, что

Суммируя по и замечая, что , получаем неравенство

в силу (1634). Отсюда следует оценка (1638),

Замечание. Если функция имеет компактный носитель, то, устремляя в (16.27) и (16.29), получаем соотношения

Эти неравенства могут быть использованы для доказательства теорем

жения типа теорем вложения Соболева (задачи 16.1, 16.2). Отметим, что неравенство Соболева (теорема 7.10) обобщали: на минимальные поверхности в — Миранда [196], на произвольные подмногообразия — Аллард [11], Михаэл и Саймон [203].