ГЛАВА 8. ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ И ИХ РЕГУЛЯРНОСТЬ

В этой главе при относительно слабых условиях на гладкость коэффициентов изучаются линейные эллиптические операторы, старшая часть которых имеет дивергентную форму. Рассматриваются операторы вида

коэффициенты которых предполагаются измеримыми функциями в области Оператор общего вида (3.1) можно записать в виде (8.1) в том случае, если его старшие коэффициенты дифференцируемы. Подход, основанный на методе гильбертова пространства, развиваемый в этой главе, можно рассматривать как новый, отличный от проведенного в гл. 6, вариант исследования проблемы

разрешимости. С другой стороны, если в (8.1) коэффициенты дифференцируемы и то оператор можно записать в общем виде (3.1), так что результаты, полученные в гл. 6, могут быть применены к такому уравнению. Однако дивергентная форма имеет то преимущество, что позволяет определить оператор на значительно более широком классе функций, нежели класс Действительно, пусть функция и дифференцируема в слабом смысле, а функции локально интегрируемы. Будем говорить, что функция и в слабом или обобщенном смысле удовлетворяет уравнению (неравенствам ) в , если

для всех неотрицательных функций .

В случае, когда коэффициенты оператора локально интегрируемы, с помощью теоремы о дивергенции (2.3) можно установить, что если функция и из удовлетворяет уравнению (неравенствам в классическом смысле, то она удовлетворяет этим соотношениям и в обобщенном смысле. Кроме того, если коэффициенты имеют локально интегрируемые призводные, то принадлежащее обобщенное решение и является также и классическим решением.

Пусть - локально интегрируемые функции в Тогда слабо дифференцируемая функция и будет называться слабым или обобщенным решением неоднородного уравнения

в если

Несложно проверить, что классические решения уравнения (8.3) являются также и обобщенными решениями и что приналежащее обобщенное решение является также и классическим решением, если коэффициенты оператора и правая часть являются достаточно гладкими функциями.

Нашей целью является изучение обобщенной задачи Дирихле для уравнения (8.3). Естественная постановка этой задачи зависит от коэффициентов оператора Мы будем всюду преполагать, что оператор строго эллиптичен в Это значит, что существует положительное число X такое, что

Мы также всюду предполагаем (если нет специальных оговорок), что коэффициенты оператора ограничены, т. е. существуют такие постоянные что для всех

Отметим, что аналогичная теория может быть развита и при более слабых требованиях [288]. Функция и, принадлежащая пространству Соболева

называется решением обобщенной задачи Дирихле где , если она является обобщенным решением уравнения (8.3)

Функции (12), участвующие в формулах (8.2) и (8.4), называют также пробными функциями. Заметим, что в силу условия (8.6) с помощью неравенства Шварца можно получить оценку

Следовательно, для фиксированного отображение является ограниченным линейным функционалом на Поэтому из справедливости соотношения (8,2) для функций (12) следует его справедливость для всех

Оценка (8.7) важна также и для рассмотрения проблемы существования решений уравнения (8.3), так как она показывает, что оператор определяет формулой (8,2) ограниченную билинейную форму на каждом из гиль бертовых пространств Для фиксированного элемента и его образ можно определить как элемент сопряженного к пространства, отправляясь от равенства В силу теоремы Рисса о представлении линейного ограниченного функционала пространство можно отождествить с его сопряженным пространством, и поэтому оператор порождает отображение Мы покажем, что исследование разрешимости задачи Дирихле для уравнения (83) непосредственно связано с изучением обратимости этого отображения.

Подход к изучению линейной задачи Дирихле, описанный выше, не является единственным важным вкладом этой главы. Поточечные оценки, получаемые в разделах 8.6, 8,9 и 8,10, служат основой для последующего построения теории квазилинейных уравнений, осуществляемой во второй части книги. Имея в виду только эти приложения, читатель может ограничиться рассмотрением субрешений и суперрешений уравнения (8.3), принадлежащих пространству и при этом считать, что в уравнении (8,1) коэффициенты равны нулю, что означает, т. е. в (8,6).