8.9. Непрерывность по Гёльдеру

Следующий результат является основным для теории квазилинейных уравнений второго порядка. Его открытие Де Джорджи [76] и Нэшем [224] для операторов вида существенно продвинуло вперед теорию квазилинейных уравнений с более чем двумя независимыми переменными.

Теорема 8.22. Пусть оператор удовлетворяет условиям (8.5) и (8.6). Предположим, что некоторого Если функция и является решением в уравнения (8.3), принадлежащим то функция и является локально непрерывной по Гельдеру в и для любого шара любого справедливо неравенство

с положительными постоянными постоянной

Доказательство. Без ограничения общности можно предполагать, что Введем обозначения:

Тогда

Следовательно, если взять

и применить слабое неравенство Харнака (8.47) с к функциям в шаре то мы получим неравенства

Сложим эти два неравенства:

Отсюда, обозначая получаем где Требуемый результат получается с помощью следующей простой леммы.

Лемма 8.23. Пусть функция неубывает на полуинтервале удовлетворяет при всех неравенству

где а - неубывающая функция числа такие, Тогда для любого и всех справедливо неравенство

с положительными постоянными

Доказательство. Зафиксируем некоторое Тогда для любого имеем так как — неубывающая функция. Проитерируем полученное неравенство: для любого натурального получим, что

Для произвольного мы можем найти число так, что Следовательно,

Полагая здесь приходим к неравенству

Утверждение теоремы 8.22 получается при выборе такого значения что Доказательство оценки (8.65), опирающееся на теорему 8.17, несколько проще проведенного выше доказательства (см. задачу 8.6).

Объединяя результаты теорем 8.17 и 8.22, мы полутаем следующую внутреннюю оценку Гёльдера для слабых решений уравнения (8.3).

Теорема 8.24. Пусть оператор удовлетворяет условиям (8.5) и (8.6). Предположим, что для некоторого Тогда если функция и решением уравнения (8.3) в то для любой области справедлива оценка

с положительными постоянными с постоянной

Доказательство. Оценка (8.68) получается, если в теореме 8.22 взять воспользоваться результатами теоремы 8.17 для оценки

Замечание. Из проведенных доказательств видно, что постоянные неравенств (8.46), (8.47) и (8.63) не убывают по аргументу постоянная не убьюает по постоянные а из (8.65) и (8.68) не убьюают по аргументам соответственно. При постоянные (8.47) и (8.63) и постоянные а из (8.65) и (8.68) могут быть выбраны не зависящими от и от и потому не зависят от областей, входящих в утверждения теорем 8.17, 8.18, 8.20, 8.22 и 8.24.