Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
8.9. Непрерывность по Гёльдеру
Следующий результат является основным для теории квазилинейных уравнений второго порядка. Его открытие Де Джорджи [76] и Нэшем [224] для операторов вида существенно продвинуло вперед теорию квазилинейных уравнений с более чем двумя независимыми переменными.
Теорема 8.22. Пусть оператор удовлетворяет условиям (8.5) и (8.6). Предположим, что некоторого Если функция и является решением в уравнения (8.3), принадлежащим то функция и является локально непрерывной по Гельдеру в и для любого шара любого справедливо неравенство
с положительными постоянными постоянной
Доказательство. Без ограничения общности можно предполагать, что Введем обозначения:
Тогда
Следовательно, если взять
и применить слабое неравенство Харнака (8.47) с к функциям в шаре то мы получим неравенства
Сложим эти два неравенства:
Отсюда, обозначая получаем где Требуемый результат получается с помощью следующей простой леммы.
Лемма 8.23. Пусть функция неубывает на полуинтервале удовлетворяет при всех неравенству
где а - неубывающая функция числа такие, Тогда для любого и всех справедливо неравенство
с положительными постоянными
Доказательство. Зафиксируем некоторое Тогда для любого имеем так как — неубывающая функция. Проитерируем полученное неравенство: для любого натурального получим, что
Для произвольного мы можем найти число так, что Следовательно,
Полагая здесь приходим к неравенству
Утверждение теоремы 8.22 получается при выборе такого значения что Доказательство оценки (8.65), опирающееся на теорему 8.17, несколько проще проведенного выше доказательства (см. задачу 8.6).
Объединяя результаты теорем 8.17 и 8.22, мы полутаем следующую внутреннюю оценку Гёльдера для слабых решений уравнения (8.3).
Теорема 8.24. Пусть оператор удовлетворяет условиям (8.5) и (8.6). Предположим, что для некоторого Тогда если функция и решением уравнения (8.3) в то для любой области справедлива оценка
с положительными постоянными с постоянной
Доказательство. Оценка (8.68) получается, если в теореме 8.22 взять воспользоваться результатами теоремы 8.17 для оценки
Замечание. Из проведенных доказательств видно, что постоянные неравенств (8.46), (8.47) и (8.63) не убывают по аргументу постоянная не убьюает по постоянные а из (8.65) и (8.68) не убьюают по аргументам соответственно. При постоянные (8.47) и (8.63) и постоянные а из (8.65) и (8.68) могут быть выбраны не зависящими от и от и потому не зависят от областей, входящих в утверждения теорем 8.17, 8.18, 8.20, 8.22 и 8.24.