9.9. Локальные оценки вблизи границы

Локальный принцип максимума (теорема 9.20) может быть следующим образом обобщен на случай шаров, пересекающихся с границей.

Теорема 9.26. Пусть функция и удовлетворяет неравенству и неравенству и на где шар в Тогда для любого имеем

с постоянной

Доказательство. Достаточно доказать оценку (9.64) для функции и удовлетворяющей неравенству и на Продолжим функцию и на весь шар В, положив Хотя функция и после продолжения и не обязана принадлежать пространству но рассуждения из доказательства теоремы 9.20 могут быть применены, так как множество верхнее контактное множество функции лежит в а функция принадлежит и потому можно использовать лемму 9.3.

Отметим здесь следующий факт, использованный при доказательстве теоремы 9.26: если функция и удовлетворяет условиям леммы 9.3, то по непрерывности оценка (9.11) будет справедлива и в случае, когда множество заменяется на верхнее контактное множество функции и относительно любой большей области (на которую функция и продолжается нулем), а число заменяется на

Слабое неравенство Харнака (теорема 9.22) справедливо вблизи границы и имеет следующий вид.

Теорема 9.27 Пусть функция и удовлетворяет в неравенству и неотрицательна в шар в Положим

Тогда

где - положительные постоянные, зависящие только от

Если предположить, что функция и принадлежит только то неравенство (9.65) выполняется с

Доказательство. Приспособим доказательство теоремы 9.22, заменив на . Оценка (9.56) в этом случае получается, если заменить на при и мы получаем оценку (9.60) при Если то Следовательно, так же, как и ранее, получается (9.65). Последнее утверждение теоремы 9.27 является следствием замечания к теореме 9.1.

В качестве следствия теоремы 9.27 получаются оценки глобального и граничного модулей непрерывности решений. Сформулируем результаты, аналогичные результатам для операторов дивергентного вида, изложенным в теоремах 8.27 и 8,29.

Следствие функция и удовлетворяет уравнению где Предположим, что область удовлетворяет условию внешнего конуса в точке , Тогда для любого и любого имеем

где положительные постоянные, внешний конус с вершиной в точке у и

Следствие 9.29, Пусть функция и удовлетворяет в уравнению на причем для некоторого Предположим, что граница удовлетворяет равномерному условию внешнего конуса.

Тогда функция и принадлежит и справедлива оценка

где - положительные постоянные, зависящие от

Отметим здесь, что оценка модулей непрерывности вплоть до границы может быть получена с помощью построения барьеров подобно тому, как это осуществлено в разделе 6.3. Более того, вместо барьеров при решении задачи Дирихле методом Перрона может быть использована теорема 9.28. Чтобы показать это, предположим, что оператор удовлетворяет условиям теоремы 6.11. Пусть и решение Перрона задачи Дирихле на существование которого доказано в теореме 6.11. В силу следствия 9.28 мы получаем оценку модуля непрерывности решения и в точке , если область удовлетворяет условию внешнего конуса, через модуль непрерьюности функции у в точке у. Если область удовлетворяет условию внешнего конуса в каждой точке то решение и принадлежит и равно на т. е. является решением рассматриваемой задачи Дирихле.

Таким образом, в теореме существования (теорема 6.13) можно заменить условие внешней сферы на условие внешнего конуса. Последнему условию удовлетворяют, например, липшицевы области (см. также задачу 6.3). Используя результаты раздела 9.5, в частности, следствие 9.18, мы можем обобщить теорему 6.13 на случай, когда коэффициенты предполагаются непрерывными.

Теорема 9.30. Пусть оператор строго эллиптичен в ограниченной области а его коэффициенты удовлетворяют условиям: и с Пусть область , удовлетворяет условию внешнего конуса в любой граничной точке. Тогда если то задача Дирихле на имеет единственное решение

Доказательство. Чтобы доказать теорему 9.30 достаточно, в силу замечаний к предыдущей теореме, доказать существование решения из аналогичного решения Перрона. Для этого можно применить процедуру Перрона, описанную для супергармонических функций в гл. 2, и использовать сильный принцип максимума (теорема 9.6), разрешимость задачи Дирихле для шара с непрерывными граничными данными (следствие 9.18) и внутренние оценки (теорема 9.11) вместе со свойством слабой относительной компактности ограниченных множеств в Детали доказательства оставляем читателю.