Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 9.9. Локальные оценки вблизи границыЛокальный принцип максимума (теорема 9.20) может быть следующим образом обобщен на случай шаров, пересекающихся с границей. Теорема 9.26. Пусть функция и
с постоянной Доказательство. Достаточно доказать оценку (9.64) для функции и Отметим здесь следующий факт, использованный при доказательстве теоремы 9.26: если функция и удовлетворяет условиям леммы 9.3, то по непрерывности оценка (9.11) будет справедлива и в случае, когда множество Слабое неравенство Харнака (теорема 9.22) справедливо вблизи границы и имеет следующий вид. Теорема 9.27 Пусть функция и
Тогда
где Если предположить, что функция и принадлежит только Доказательство. Приспособим доказательство теоремы 9.22, заменив В качестве следствия теоремы 9.27 получаются оценки глобального и граничного модулей непрерывности решений. Сформулируем результаты, аналогичные результатам для операторов дивергентного вида, изложенным в теоремах 8.27 и 8,29. Следствие
где
Следствие 9.29, Пусть функция и Тогда функция и принадлежит
где Отметим здесь, что оценка модулей непрерывности вплоть до границы может быть получена с помощью построения барьеров подобно тому, как это осуществлено в разделе 6.3. Более того, вместо барьеров при решении задачи Дирихле методом Перрона может быть использована теорема 9.28. Чтобы показать это, предположим, что оператор удовлетворяет условиям теоремы 6.11. Пусть и Таким образом, в теореме существования (теорема 6.13) можно заменить условие внешней сферы на условие внешнего конуса. Последнему условию удовлетворяют, например, липшицевы области (см. также задачу 6.3). Используя результаты раздела 9.5, в частности, следствие 9.18, мы можем обобщить теорему 6.13 на случай, когда коэффициенты предполагаются непрерывными. Теорема 9.30. Пусть оператор Доказательство. Чтобы доказать теорему 9.30 достаточно, в силу замечаний к предыдущей теореме, доказать существование решения из
|
1 |
Оглавление
|