2.3. Неравенство Харнака

Еще одним следствием теоремы 2.1 является следующее неравенство Харнака для гармонических функций.

Теорема 25, Пусть и - неотрицательная гармоническая функция в Тогда для любой ограниченной подобласти существует такая постоянная зависящая только от что

Доказательство. Пусть . Тогда для любых двух точек имеют место соотношения (2.6)

Отсюда получаем

Пусть теперь Выберем точки так, чтобы Пусть замкнутая дуга, соединяющая

Возьмем такое положительное число что В силу теоремы Гейне — Бореля дуга может быть покрыта конечным числом (зависящим только от шаров радиуса Применяя оценку (2,9) в каждом шаре и комбинируя их, получаем неравенство Тем самым получена оценка (2,8) с постоянной

Заметим, что постоянная в (2,8) инвариантна относительно преобразований подобия и ортогональных преобразований. Неравенство Харнака для слабых решений однородных эллиптических уравнений будет доказано в