11.3. Применение

Теорема 11.4 сводит решение задачи о разрешимости задачи Дирихле на к получению априорной уценки решений соответствующего семейства задач в пространстве с некоторым На практике получение априорных оценок удобно осуществлять в четыре этапа;

I. Оценка Оценка через Оценка через Оценка некоторого через

Этап I был ранее реализован в гл. 10 (см. теоремы 10.3, 10.4 и 10.9). Этапы II и III реализуются в гл. 14 и 15. В гл. 13 будет показано, что этап IV может быть реализован при весьма общих условиях на оператор Проиллюстрируем всю процедуру на примере задачи, где требующиеся оценки легко получаются с помощью некоторых результатов предыдущих глав. Предположим, что или оператор имеет специальную дивергентную форму

или и оператор имеет вид

В гл. 14 будет показано, что важную роль для разрешимости задачи Дирихле для квазилинейных уравнений играют геометрические условия, накладываемые на границу Для наших ближайших целей мы потребуем, чтобы граничное многообразие

удовлетворяло условию ограниченности наклона. Это означает, что для любой точки существуют две плоскости в имеющие уравнения проходящие через точку и такие, что выполнены условия:

(ii) наклоны этих плоскостей равномерно по ограничены постоянной для всех

Если и граница равномерно выпукла (это значит, что ее главные кривизны всюду отграничены от нуля), то граничное многообразие удовлетворяет условию ограниченности наклона (см. [321]). Мы можем теперь доказать следующую теорему существования.

Теорема 11.5. Пусть оператор имеет или вид (11.7), или вид (11.8). Предположим, что оператор область и функция удовлетворяют условиям теоремы 11.4. Пусть, дополнительно, граничное многообразие удовлетворяет условию ограниченности наклона. Тогда задача Дирихле на разрешима в

Доказательство. Так как мы можем оценить решения задачи Дирихле на Реализуем этапы I-IV, введенные выше.

I. Из слабого принципа максимума (теоремы 3.1 или 10,3) следует, что

II. Условие ограниченности наклона поставляет линейные барьеры, которые и могут быть использованы для оценок на Действительно, так как то в силу слабого принципа максимума для всех Поэтому имеем

где К - число, оценивающее наклоны плоскостей .

III. Реализация этапов III и IV следует из того, что производные являются слабыми решениями простых линейных уравнений дивергентного вида, которые рассмотрены в гл. 8. Предположим сначала, что оператор имеет вид (11.7), и запишем уравнение в интегральной форме

Зафиксировав к, заменим здесь на Интегрируя по частям, получаем тоздество

Обозначим и через перепишем полученное тождество в виде

Мы видим, что функция является слабым решением линейного эллиптического уравнения

где Следовательно, в силу слабого принципа максимума из раздела 3.6 (см. также теорему 8.1) имеем неравенство

Далее, если оператор имеет вид (10.8), то уравнение эквивалентно уравнению

так что

Заменяя здесь на и интегрируя по частям, получаем для

Следовательно, функция является слабым решением линейного эллиптического уравнения

матрица старших коэффициентов которого имеет вид

Аналогично получаем, что и производная является слабым решением соответствующего линейного эллиптического уравнения. Из этого, снова в силу слабого принципа максимума, следует оценка (11.13).

IV. Уравнения (11.12) и (11.14), которым удовлетворяют производные таковы, что выполнены условия теоремы 8.24 с постоянными зависящими от и от коэффициентов Поэтому имеет место внутренняя оценка Гёльдера т. е. в произвольной подобласти

где положительные постоянные не зависят от Однако глобальная оценка Гёльдера не следует прямо из результатов. гл. 8. Для получения такой оценки поступим следующим образом. Сначала, используя гладкость 812, преобразуем некоторый кусок 912 на плоскость Производные по новым переменным можно оценить с помощью теоремы 8.29. Оставшуюся производную и оцениваем с помощью самого уравнения и оценки Морри (теорема 7.19). Детали такого типа доказательств будут описаны в гл. 13 для уравнений общего дивергентного вида. В итоге мы придем к оценке

с положительными постоянными не зависящими от и и а. Этим завершается доказательство теоремы

Отметим, что, используя результаты гл. 14, условие ограниченности наклона в условиях теоремы 11.5 можно заменить условием ограниченности величины

при (см. теорему 14.1).

Если, кроме того, область выпукла, то условие ограниченности наклона можно заменить условием ограниченности величины

при (см. теорему 14.2).