16.5. Квазиконформные отображения

В этом разделе мы будем рассматривать отображения между поверхностями класса Поверхности предполагаются ориентируемыми. Это значит, что существуют поля единичных нормальных векторов, определенных и непрерывных соответственно на . Далее в этом разделе поверхности будут графиками и, следовательно, будут задаваться формулами вида (16.2), (16.3).

Точки будем обозначать через Точка фиксированная точка Для положим Через будем обозначать фиксированную положительную постоянную такую, что Часто будем писать более кратко: вместо

Нам потребуется классическая теорема Стокса: если вектор-функция класса определенная в окрестности поверхности и если причем состоит из конечного числа простых замкнутых кривых класса то

где А — поверхностная мера на , граница соответствующим образом ориентирована, длина дуги на единичный касательный к вектор. В этом разделе мы пользуемся правилом суммирования: по двум повторяющимся индексам производится суммирование от 1 до 3. Если в (16.68) взять где функции классов соответственно, определенные в окрестности в, то в силу операторного тождества!) получаем из (16.68) тождество

где производная функции по направлению Так как в полученное тождество входят только первые производные то легко показать, что тождество справедливо и в случае, когда обе функции принадлежат Используя векторные тождества где мы можем на записать равенство

где 5 — тангенциальная составляющая оператора градиента на определенная формулой (16.4). Следовательно, для любых функций класса на справедливо тождество

Главное предположение относительно поверхности 3 будет такое: существует вектор-функция принадлежащая в некоторой окрестности такая, что

где - постоянная. Применив формулу Стокса (16.68) на подмножестве и вместо , получаем

Это значит, что мера подмножества может быть представлена в виде криволинейного интеграла по границе

Рассмотрим пример, представляющий для нас специальный интерес. Пусть 3 - верхняя половина единичной сферы: . В этом случае, взяв получаем соотношения (16.70), в которых

Полезно отметить (хотя мы и не будем пользоваться этим), что если - произвольная связная ориентированная компактная поверхность класса компакт, имеющий внутренние точки, и если то всегда существует векторное поле удовлетворяющее (16.70). Доказательство этого утверждения можно получить с помощью простого применения теории дифференциальных форм и групп когомологий де Рама; интересующегося читателя отсылаем к [255].

Рассмотрим теперь отображение

принадлежащее в том смысле, что каждая компонента (как отображение имеет продолжение в некоторую окрестность и это продолжение принадлежит Мы хотим ввести понятие квазиконформности отображения однако для этого сначала дадим определение коэффициента растяжения ориентированной площади для отображения . А именно, определим на равенством

Такое определение сделано по следующим соображениям. Пусть область на такая, что связная гладкая кривая. Предположим, что взаимно однозначное отображение, имеющее обратное отображение класса на некотором открытом подмножестве содержащем Предполагая, что кривые ориентированы соответствующим образом, мы можем применить формулы (16.69) и (16.71). Получим

со знаком "+" или "—" в зависимости от того, сохраняет или нет отображение ориентацию на Этим тождеством и мотивируется определение (16.72).

Важным (и интуитивно очевидным) фактом относительно является независимость от системы координат в следующем смысле: если линейные изо метрик пространства такие, что

и если

то

где — тангенциальная составляющая оператора градиента на Соотношение (16.73) легко проверить, если представить изометрии с помощью ортогональных матриц и воспользоваться двумя элементарными фактами линейной алгебры, а именно: если матрицы, то и если А имеет собственные значения то . С помощью (16.70) можно также проверить, что

Если изометрии выбраны так, что

и если ввести новые координаты

то поверхность вблизи 0 представляется уравнением

где окрестность точки а функция принадлежит причем Тогда

ибо векторы , касательны к 3 в точке 0. Таким образом, Следовательно, если отображение определяется равенством

то функция 0 аппроксимирует функцию вблизи 0 в том смысле, что

Кроме того, используя (16.73) и определение оператора несложно проверить, что

т. е. совпадает с якобианом в точке 0. Итак, имеем

Учитывая равенства (16.74), (16.75), естественно, по аналогии с (12.2), сделать следующее определение: отображение называется -квазиконформным отображением , если

в каждой точке Здесь вещественные постоянные, Подчеркнем, что постоянная К не обязана быть положительной (ср. с Отметим также, что если то обязательно исключая случай, когда

Прежде чем осуществить доказательство основной оценки Гёльдера для квазиконформных отображений, отметим следующий факт: если произвольная функция на принадлежащая то

для почти всех где функция расстояния до точки

Формула (16.77) является, по существу, специальным случаем важной формулы ко-меры (см. [301]). Перейдем к доказательству (16.77). Вначале заметим, что левая часть (16.77) имеет смысл для почти всех

в силу теоремы Сарда [349]. Поэтому мы можем записать

для почти всех где простая замкнутая кривая класса натуральное число. В действительности теорема Сарда гарантирует, что для почти всех тангенциальный градиент не исчезает в точках геометрическая интерпретация этого факта следующая: поверхность и сфера пересекаются трансверсально и потому имеет место (16.78). Возьмем теперь некоторое фиксированное число такое, что на и пусть число столь мало, что на где Применим теперь теорему Стокса (16.68). Ориентированные соответствующим образом поля единичных векторов на определяются формулами: на на Пусть продолжение вектор-функции класса на некоторое открытое подмножество содержащее Тогда, применяя и замечая, что на получаем

Так как

и, так как на то, устремив получаем (16.77).

Основная оценка Гёльдера будет получена как следствие оценок для интеграла определенного при равенством

(ср. с интегралом Дирихле, использованным в гл. 12.).

Следущая лемма, результат которой можно сравнить с неравенством (12.8), дает оценку В утверждении леммы и далее через

обозначена постоянная, удовлетворяющая неравенству

В следующем разделе будет показано, что если поверхность в является графиком, гауссово отображение которого -квазиконформно, то можно получить оценку через

Лемма 16.13. Предположим, что отображение - квазиконформное отображение в 3 класса Тогда

Доказательство. Пусть те же, что и в (16.78). Предполагаем, что ориентированы таким образом, что можно на использовать формулу (16.68). Тогда, используя определение и (16.69), получаем тождество

для почти всех Это тождество играет ключевую роль в доказательстве основной оценки для проводимом в следующем разделе. В рассматриваемом случае достаточно применить неравенство Шварца и неравенство . Все это вместе с (16.81), (16.70) и.(16.77) приводит к оценке

имеющей место для почти всех Таким образом, так как то из (16.76) получаем, что для почти всех

где сокращенная запись и где

Отметим, что существуют для почти всех ибо функции не убывают по Возводя в квадрат обе стороны полученного неравенства, получаем

Пусть

(так что ) и

Тогда из полученного неравенства следует неравенство вида

для почти всех где Отсюда

Воспользовавшись неравенством Гёльдера и монотонностью получаем

так что

Далее, проинтегрировав (16.82) по интервалу и воспользовавшись только что полученным неравенством, получаем

Поэтому

Теперь требуемая оценка (16.80) получается при помощи (16.79). В следующей теореме дается основная оценка для В утверждении теоремы и далее через обозначена постоянная такая, что

где средняя кривизна

Теорема 16.14. Предположим, что — -квазиконформное отображение в класса

для всех всех где - положительные постоянные, зависящие только от

Доказательство. Обозначим где Пусть функция расстояния до точки Возьмем такое, что не равно нулю на так что мы можем считать выполненными (16.77) и (16.78). Так как кривые замкнуты, то

Следовательно, если начальная точка (соответствующая значению то интеграл в правой части (16.81) может быть записан в виде

Поэтому из (16.81) получаем

(в силу неравенства Шварца)

в силу (16.36), где Привлекая (16.76), получаем

для почти всех где в силу (16.34). Теперь положим

Нетрудно убедиться, что предыдущее неравенство можно записать в виде

где последнее - в виде

Так как возрастающая функция мы можем проинтегрировать и получить неравенство

Таким образом,

где

Требуемая оценка получается теперь из (16.80).

Используя обобщенную оценку Морри (лемма 16.4), можно из теоремы 16.14 получить оценку Гёльдера для -квазиконформных отображений.

Теорема 16.15. Предположим, что К-квазиконформное отображение в класса Тогда

где - положительные постоянные, зависящие только от компонента содержащая

Доказательство. Пусть произвольная точка В силу неравенства Гёльдера и оценок (16.84) и (16.34) имеем

где — такие же, как в (16.84), и Таким образом, выполнены условия леммы 16.4 с Отсюда следует утверждение теоремы.