Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 15.5. Избранные теоремы существованияМы не имеем возможности представить здесь исчерпывающий обзор теорем существования для классической задачи Дирихле, вытекающих из результатов глав 10, 13 — 15. Мы опишем лишь часть результатов, иллюстрирующих возможности представленной теории. (i) Равномерно эллиптические уравнения (общего вида (15.1). Предлагаем выполненными структурные условия:
где Теорема 15.10. Пусть В общем случае, если не предполагать в условии теоремы 15.10, что выполнено условие (10.10) (или (10.36)), то задача Дирихле
(ii) Равномерно эллиптические уравнения в дивергентной форме (15.56). Предполагаем выполненными структурные условия:
при Теорема 15.11. Пусть
удовлетворяют структурным условиям (15.82) и условиям теоремы 10.9 при Для вывода теоремы 15.11 из оценок теорем 10.9, 14.1 и 15.9 рассмотрим в теореме 13.8 семейство задач Дирихле вида
Отметим, что семейство, определенное в (13.42), не обязательно удовлетворяет условиям теоремы 10.9. Как и выше, если не предполагать, что выполнены условия специального принципа максимума, такие как теорема 10.9, то задача Дирихле
у которых
Следовательно, используя теоремы 10.3, 13.8, 14.1 и 15.9, приходим к следующей теореме. Теорема 15.12. Пусть
и (iii) Неравномерно эллиптические уравнения в общих областях. Предположим, что коэффициенты уравнения (15.1) могут быть представлены в виде (15.23), так что выполняются следующие структурные условия:
при Теорема 15.13. Пусть Теорема 15.13 является, очевидно, обобщением теоремы 15.10, причем справедливы замечания, аналогичные замечаниям, сделанным к теореме 15.10. Отметим, что при выполнении представления вида Неравномерно эллиптические уравнения в выпуклых областях. Предположим, что имеет место представление (15.2) и
при Теорема 15.14. Пусть
где Для неравномерно эллиптических уравнений дивергентного вида (15.57) теорема существования получается аналогичным методом, если вместо теоремы 15.1 воспользоваться теоремой 15.6. Предположим, что коэффициенты
при Теорема 15.15. Пусть
удовлетворяют структурным условиям (15.88). Пусть (v) Задачи с условиями для кривизны границы. Рассмотрим операторы, удовлетворяющие обеим представлениям (14.43) и (15.23). Предполагаем, в частности, что
где
при Теорема 15.16. Пусть
в каждой точке Чтобы в (15.91) можно было допустить нестрогие неравенства, наложим более сильные структурные условия, нежели условия
при Теорема 15.17. Пусть
в каждой точке
|
1 |
Оглавление
|