15.5. Избранные теоремы существования

Мы не имеем возможности представить здесь исчерпывающий обзор теорем существования для классической задачи Дирихле, вытекающих из результатов глав 10, 13 — 15. Мы опишем лишь часть результатов, иллюстрирующих возможности представленной теории.

(i) Равномерно эллиптические уравнения (общего вида (15.1). Предлагаем выполненными структурные условия:

где равномерно для и ограниченных Тогда в силу теорем и 15.5 справедлива следующая теорема.

Теорема 15.10. Пусть ограниченная область в Предположим, что оператор эллиптичен в имеет коэффициенты удовлетворяющие структурным условиям (15.81) или (15.53) и условию (10.10) (или Тогда если существует решение и задачи Дирихле на к оно принадлежит

В общем случае, если не предполагать в условии теоремы 15.10, что выполнено условие (10.10) (или (10.36)), то задача Дирихле на разрешима, коль скоро семейство решений задач (13.42) равномерно ограничено в Заметим на основании теоремы 10.10, что решение единственно, если коэффициенты не зависят от а коэффициент удовлетворяет неравенству . В этом случае условия в (15.81) выполняютсяв силуусловий

(ii) Равномерно эллиптические уравнения в дивергентной форме (15.56). Предполагаем выполненными структурные условия:

при равномерно длях и ограниченных с постоянной Тогда, на основании теорем 10.9, 13.8, 14.1 и 15.9, справедлива следующая теорема.

Теорема 15.11. Пусть ограниченная область в Предположим, что оператор эллиптичен в его коэффициенты

удовлетворяют структурным условиям (15.82) и условиям теоремы 10.9 при Тогда если существует решение и задачи Дирихле и оно принадлежит

Для вывода теоремы 15.11 из оценок теорем 10.9, 14.1 и 15.9 рассмотрим в теореме 13.8 семейство задач Дирихле вида

Отметим, что семейство, определенное в (13.42), не обязательно удовлетворяет условиям теоремы 10.9. Как и выше, если не предполагать, что выполнены условия специального принципа максимума, такие как теорема 10.9, то задача Дирихле будет разрешима, коль скоро решения соответствующего семейства задач, таких как (15.83), равномерно ограничены в Заметим, что в силу теоремы 10.7, если или коэффициенты А не зависят от или коэффициент В не зависит от и не возрастает по , то решение задачи Дирихле на единственно. Уравнения вида

у которых можно записать в дивергентном виде (15.57), причем

Следовательно, используя теоремы 10.3, 13.8, 14.1 и 15.9, приходим к следующей теореме.

Теорема 15.12. Пусть ограниченная область в Пусть оператор определенный в (15.84), эллиптичен в его коэффициенты

и при равномерно для и ограниченных пусть выполнено условие (10.10) (или (10.36)). Пусть Тогда существует решение и задачи Дирихле на оно принадлежит

(iii) Неравномерно эллиптические уравнения в общих областях. Предположим, что коэффициенты уравнения (15.1) могут быть представлены в виде (15.23), так что выполняются следующие структурные условия:

при равномерно для и ограниченных Тогда, объединяя результаты теорем 10.3, 13.8, 14.1 и 15.2, получаем следующую теорему.

Теорема 15.13. Пусть ограниченная область в коэффициенты удовлетворяют структурным условиям (15.85) и условию (10.10) (или (10.36)). Пусть Гогдд существует решение и задачи Дирихле на к оно принадлежит

Теорема 15.13 является, очевидно, обобщением теоремы 15.10, причем справедливы замечания, аналогичные замечаниям, сделанным к теореме 15.10. Отметим, что при выполнении представления вида кроме этого, если то также

Неравномерно эллиптические уравнения в выпуклых областях. Предположим, что имеет место представление (15.2) и

при равномерно для и ограниченных Тогда из теоремы и следствия 14.5 вытекает следующая теорема.

Теорема 15.14. Пусть равномерно выпуклая область в Предположим, что оператор эллиптичен в его коэффициенты удовлетворяют структурным условиям (15.86). Пусть Тогда если равномерно ограничено в семейство решений из задач

где некоторая фиксированная точка области то существует решение и задачи Дирихле и оно принадлежит

Для неравномерно эллиптических уравнений дивергентного вида (15.57) теорема существования получается аналогичным методом, если вместо теоремы 15.1 воспользоваться теоремой 15.6. Предположим, что коэффициенты в (15.56) удовлетворяют при некотором условиям

при равномерно для и ограниченных

Теорема 15.15. Пусть равномерно выпуклая область в Пусть оператор эллиптичен в а его коэффициенты

удовлетворяют структурным условиям (15.88). Пусть Тогда если семейство решений класса задач (13.42) равномерно ограничено в то существует решение задачи Дирихле на и оно принадлежит

(v) Задачи с условиями для кривизны границы. Рассмотрим операторы, удовлетворяющие обеим представлениям (14.43) и (15.23). Предполагаем, в частности, что

где что матрицы неотрицательны и симметричны и что функция

не убывает по Наложим следующие структурные условия:

при равномерно для и ограниченных Тогда в силу теорем 13.8, 14.9 и 15.2 справедлива следующая теорема.

Теорема 15.16. Пусть ограниченная область в Пусть оператор эллиптичен в а его коэффициенты удовлетворяют структурным условиям (15.89), (15.90). Пусть выполнены неравенства

в каждой точке , где единичная внутренняя нормаль в точке у, а функции определенные в (14.44), неотрицательны. семейства решений класса зядяч (13.42) равномерно ограничены в разрешима задача Дирихле

Чтобы в (15.91) можно было допустить нестрогие неравенства, наложим более сильные структурные условия, нежели условия

при равномерно для и ограниченных Тогда в силу теорем имеет место следующая теорема.

Теорема 15.17. Пусть выпуклая область в Пусть оператор эллиптичен в а его коэффициенты удовлетворяют структурным условиям (15.89), (15.92). Пусть выполнены неравенства

в каждой точке , Тогда если семейство решений класса задач (13.42) равномерно ограничено в то разрешима задача Дирихле на