16.6. Графики с квазиконформным гауссовым отображением

В этом разделе поверхность является графиком функции и класса фиксированная точка области Мы будем предполагать, что область содержит крут Через обозначим точку поверхности через поле единичных нормалей, определенное на равенством

Гауссовым отображением поверхности называется отображение поверхности на полусферу

определяемое в каждой точке равенством

Остальные понятия и терминология — такие же, как в разделах 16.4 и 16.5.

Для осуществим явное вычисление величин Это делается непосредственно с помощью введения новых координат, как и в разделе 16.5. В этом случае функция определяется равенством

так что из (16.74) и (16.75) следует, что

и

Тогда в силу результатов раздела 14.6 имеем

где главные кривизны в в точке У. Произведение появившееся в (16.87), называется гауссовой кривизной это весьма важный геометрический инвариант теории поверхностей.

Вспомнив определение (16.76), с помощью тождеств (16.87) убеждаемся, что отображение является -квазиконформным тогда и только тогда, когда в каждой точке в главные кривизны удовлетворяют неравенству

Мы видим, что квазиконформные отображения полезны при изучении уравнений поверхностей типа уравнений со средней кривизной. Действительно, возводя (16.63) в квадрат, получаем равенство

Отсюда на основании (16,64) и (16.65) получаем, что гауссово отображение графика решения уравнения (16.63), удовлетворяющего (16.64) и (16.65), является -квазиконформным с постоянными

Поэтому все результаты, полученные в этом разделе для графиков, имеющих квазиконформное гауссово отображение, применимы к графикам решений уравнений (16.63), (16.64), (16.65).

Мы хотим в итоге применить теорему 16.15 к гауссову отображению С, но сначала нам потребуется осуществить выбор подходящих постоянных Ранее, в разделе 16.5, мы видели, что можно взять

Легко проверить, что подходящим значением постоянной является значение Далее, в силу леммы 16.13 и равенств (16.87) имеем, что если отображение -квазиконформно, то

где . Так как

то мы можем взять где постоянная С определена выше.

Следующая лемма показывает, что мы можем взять величину зависящей только от

Лемма 16.16. Предположим, что отображение -квазикон-формно. Тогда для каждой точки и для каждого числа таких, что выполняется неравенство

Доказательство. Отправляемся от тождества (16.44). Пользуясь формулой (14.104), запишем его в виде

для произвольной Здесь Если то, интегрируя по частям, имеем

и поэтому, так как

для всех Заменяя 17 на 172 и используя (16.88), получаем

Так как

то

где Пусть теперь таковы, что и пусть функция 17 выбрана так, что на где с абсолютная постоянная. (Ясно, что такая функция существует.) Так как то

где Используя неравенство Гёльдера, можем записать

Утверждение леммы следует теперь из (16.53).

Из леммы 16.16 и теоремы 16.15 для выбранных постоянных вытекает: если отображение -квазиконформно, то

где - положительные постоянные, зависящие только от Заметим, что мы установили (16.92) для всех что несколько лучше условия из теоремы 16.15. Мы смогли это сделать, так как силу чего неравенство (16.92) автоматически выполняется при

Оценка (16.92) может быть использована для получения несколько более сильных результатов о регулярности для Сначала воспользуемся (16.92) для получения некоторых результатов о локальных непараметрических представлениях Пусть ортогональное отображение такое, что

и пусть

где Так как является поверхностью класса то мы можем считать, что для достаточно малого числа в существуют окрестность точки и функция и класса такие, что и

Кроме того, записывая

в силу (16.92) имеем

где - такие же, как в (16.92). Поэтому

Отсюда

если только число в таково, что

Так как выполнено (16.94), то мы можем доказать, что представление описанного выше типа имеет место для любого , удовлетворяющего неравенству (16.95). Это следует из того факта, что если число таково, что выполнены (16.93) и (16.95), то, используя гладкость поверхности и оценку (16.94), мы можем продолжить и так, что представление вида (16.93) имеет место для а не только для Для дальнейшего отметим, что из (16.94) следует включение

Теперь мы можем доказать нетривиальный результат о связности. Лемма 16.17. Предположим, что отображение является -квазиконформным. Тогда существует постоянная в зависящая только от такая, что компонента связна для всех

Доказательство. Через будем обозначать постоянные, зависящие только от через открытый шар Пусть число удовлетворяет неравенству Определим множество как объединение тех компонент которые пересекают шар Для каждой компоненты мы можем найти точку такую, что Заменяя на на в доказательстве предыдущей леммы, мы получим, что компонента может быть представлена в виде (16.93), (16.94). Используя такое непараметрическое представление для каждой компоненты также используя то, что никакие две компоненты не пересекаются, мы получаем, что объединение всех компонент вложено в область, лежащую между двумя параллельными плоскостями такими, что

где постоянная — та же, что и в (16.92).

Покажем теперь, что для чисел , выбранных соответствующим образом, в зависимости только от существует только одна компонента (обозначим ее лежащая в Предположим противное: пусть существуют две различные компоненты Компоненты и можно взять соседними в том смысле, что множество У, ограниченное поверхностями не содержит других компонент Таким образом, множество целиком расположено или выше графика или ниже графика тогда очевидно, что если единичная нормаль направлена на из V (в 2), то на она направлена из Кроме того, в силу (16.97) имеем

Применив теорему о дивергенции на получаем

где единичная внешняя нормаль к . В силу (16.11) и (16.98) получаем

Отсюда в силу (16.98) и (16.91)

Следовательно, если то

С Другой стороны, использовав непараметрическое представление вида (16.93) с условием (16.94), приходим к неравенству

для каждой компоненты где абсолютная постоянная. (Так как то из (16.94) мы можем вывести, что (16.100) выполняется с постоянной Неравенства (16.99) и (1.100) противоречат друг другу, если взять числа в достаточно малыми (но зависящими Выбирая такие , имеем

Использовав представление вида (16.93), мы, очевидно, получим, что связно. Таким образом, связно и Отсюда следует утверждение леммы, ибо числа 0,9 зависят только от

В силу полученного результата о связности можем теперь заменить в на для Кроме того, так как неравенство вида (16.92) тривиально для Итак, справедлива следующая теорема.

Теорема 16.18. Предположим, что отображение является -квазиконформным. Тогда

где - положительные постоянные, зависящие только от Замечания, (i) Из оценки (16.101) следует, что

для всех Достаточно в (16.101) взять X вместо вместо

Если то в (16.101) можно устремить и получить, что на Таким образом, справедливо следующее утверждение,

Следствие 16.19. Предположим, что отображение является -квазиконформным и Тогда функция и линейна.

Отметим, что следствие 16.19 можно установить сразу, если в (16.94) устремить без предварительного доказательства (16.101) или даже (16.92). Однако мы все же воспользовались леммой 16.16, чтобы показать, что постоянная может быть выбрана зависящей только от К.