5.2. Метод продолжения по параметру
Пусть
— линейные нормированные пространства. Линейное отображение
называется ограниченным, если конечна величина
Легко показать, что линейное отображение
ограничено тогда и только тогда, когда оно непрерывно. Обратимость линейного ограниченного отображения может быть иногда вьюедена из обратимости другого отображения благодаря следующему факту, известному в приложениях как метод непрерывного продолжения по параметру.
Теорема 5.2. Пусть
банахово пространство, V - линейное нормированное пространство и пусть
ограниченные линейные операторы из
в
Для каждого
положим
предположим,
существует такая постоянная
для всех
выполняется неравенство
Тогда для того чтобы оператор
отображал
на V, необходимо и достаточно, чтобы оператор
отображал
на
Доказательство. Предположим, что для некоторого
отображение
является отображением на. В силу (5.3) оператор
осуществляет взаимно однозначное отображение
на следовательно, существует обратный оператор
Для всех
уравнение
эквивалентно уравнению
которое, в свою очередь, эквивалентно уравнению
Отображение
пространства 33 в себя, заданное формулой
является, очевидно, сжимающим отображением, если
а следовательно, для всех
, удовлетворяющих неравенству
отображение
является отображением на
Разбивая отрезок [0, 1] на отрезки длины меньше
получаем, что отображение
является отображением на V для всех
если только оно является отображением на V для некоторого конкретного значения
например для
или для