5.2. Метод продолжения по параметру

Пусть — линейные нормированные пространства. Линейное отображение называется ограниченным, если конечна величина

Легко показать, что линейное отображение ограничено тогда и только тогда, когда оно непрерывно. Обратимость линейного ограниченного отображения может быть иногда вьюедена из обратимости другого отображения благодаря следующему факту, известному в приложениях как метод непрерывного продолжения по параметру.

Теорема 5.2. Пусть банахово пространство, V - линейное нормированное пространство и пусть ограниченные линейные операторы из в Для каждого положим

предположим, существует такая постоянная для всех выполняется неравенство

Тогда для того чтобы оператор отображал на V, необходимо и достаточно, чтобы оператор отображал на

Доказательство. Предположим, что для некоторого отображение является отображением на. В силу (5.3) оператор осуществляет взаимно однозначное отображение на следовательно, существует обратный оператор Для всех уравнение эквивалентно уравнению

которое, в свою очередь, эквивалентно уравнению

Отображение пространства 33 в себя, заданное формулой является, очевидно, сжимающим отображением, если

а следовательно, для всех , удовлетворяющих неравенству отображение является отображением на Разбивая отрезок [0, 1] на отрезки длины меньше получаем, что отображение является отображением на V для всех если только оно является отображением на V для некоторого конкретного значения например для или для