Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 3.2. Сильный принцип максимумаНесмотря на то, что для большинства приложений достаточно слабого принципа максимума, нередко возникает необходимость иметь и его сильную форму, исключающую существование нетривиального внутреннего максимума. Мы получим такой результат для локально равномерно эллиптических операторов с помощью следующей часто используемой леммы о граничных точках. Будем говорить, что область Лемма 3.4. Предположим, что оператор
Если Доказательство. Так как
По предположению функции изводную в точке
Если В более общей ситуации, вне зависимости от того, существует нормальная производная функции и или нет, мы получаем
при условии, что угол между вектором Хотя условие внутренней сферы может быть несколько ослаблено, все-таки утверждать справедливость неравенства (3.11) без соответствующих условий гладкости Теперь мы можем доказать следующий сильный принцип максимума Теорема 3.5. Пусть оператор Утверждение остается справедливым, если оператор Доказательство. Предположим противное: пусть функция и не является постоянной и достигает своего максимума Если Сильный принцип максимума может быть доказан непосредственно, без использования теоремы 3.1 и леммы 3.4 (см., например, [195]) Следствиями леммы 3.4 и теоремы 3.5 являются теоремы единственности и для других типов граничных условий. В частности, получаем следующую теорему единственности для классической задачи Неймана. Теорема 3.6. Пусть и Доказательство. Если и Результат теоремы 3.6 может быть обобщен на задачи со смешанными краевыми условиями и на задачи с косой производной (см. задачу 3.1). Если граница
|
1 |
Оглавление
|