3.2. Сильный принцип максимума

Несмотря на то, что для большинства приложений достаточно слабого принципа максимума, нередко возникает необходимость иметь и его сильную форму, исключающую существование нетривиального внутреннего максимума. Мы получим такой результат для локально равномерно эллиптических операторов с помощью следующей часто используемой леммы о граничных точках.

Будем говорить, что область удовлетворяет условию внутренней сферы в точке если существует шар такой, что (это означает, что дополнение удовлетворяет условию внешней сферы в точке

Лемма 3.4. Предположим, что оператор равномерно эллиптичен, с Пусть такая точка границы , что: (i) функция и непрерывна в точке для всех граница удовлетворяет условию внутренней сферы в точке Тогда если в точке существует производная функции и по направлению внешней нормали к , то она удовлетворяет строгому неравенству

Если и функция ограничена, то та же самая оценка имеет место в предположении, что а если то она справедлива независимо от знака с.

Доказательство. Так как удовлетворяет условию внутренней сферы в точке то существует такой шар , что Для введем вспомогательную функцию равенством где положительная постоянная, которую мы выберем позднее. При имеем

По предположению функции ограничены. Следовательно, взяв число а достаточно большим, мы можем добиться выполнения неравенства в шаровом слое Так как на то существует такая постоянная что на Это же неравенство выполняется и на где Тем самым, мы имеем на В силу слабого принципа максимума (следствие 3.2) всюду в А. Вычисляя нормальную про

изводную в точке мы получаем неравенство

Если то с может иметь произвольный знак, ибо предыдущие рассуждения остаются справедливыми в случае, если оператор заменить в них на оператор

В более общей ситуации, вне зависимости от того, существует нормальная производная функции и или нет, мы получаем

при условии, что угол между вектором и нормалью в точке меньше с некоторым фиксированным

Хотя условие внутренней сферы может быть несколько ослаблено, все-таки утверждать справедливость неравенства (3.11) без соответствующих условий гладкости в точке нельзя. Например, и область в правой полуплоскости, в которой Простые вычисления показывают, что вблизи точки т.е. оценка (3.11) не имеет места.

Теперь мы можем доказать следующий сильный принцип максимума Хопфа [324].

Теорема 3.5. Пусть оператор равномерно эллиптичен, в области (не обязательно ограниченной). Тогда если функция и достигает своего максимума (минимума) во внутренней точке то она является постоянной. Если же а функция ограничена, то отличная от постоянной функция и не может достигать неотрицательного максимума (неположительного минимума) внутри

Утверждение остается справедливым, если оператор только локально равномерно эллиптичен, а функции локально ограничены.

Доказательство. Предположим противное: пусть функция и не является постоянной и достигает своего максимума внутри Тогда множество на котором таково, что Пусть точка из расположенная ближе к чем к Рассмотрим наибольший шар с центром в точке Тогда для некоторой точки , причем предыдущей леммы следует, что это в точке внутреннего максимума невозможно.

Если в некоторой точке, то постоянная, которой, как утверждает теорема, является решение, равна, очевидно, нулю. Кроме того, если во внутренней точке максимума (минимума), то из доказательства теоремы следует, что и независимо от знака с.

Сильный принцип максимума может быть доказан непосредственно, без использования теоремы 3.1 и леммы 3.4 (см., например, [195])

Следствиями леммы 3.4 и теоремы 3.5 являются теоремы единственности и для других типов граничных условий. В частности, получаем следующую теорему единственности для классической задачи Неймана.

Теорема 3.6. Пусть и решение уравнения в ограниченной области с равномерно эллиптическим оператором функция ограничена и пусть область удовлетворяет условию внутренней сферы в каждой точке границы Тогда если нормольная производная определена всюду на и на то и постоянно в Если, кроме того, в некоторой точке то

Доказательство. Если и то мы можем утверждать, что одна из функций или и достигает неотрицательного максимума в некоторой точке границы и ее значения в меньше (благодаря сильному принципу максимума). Применяя к этой точке лемму 3.4, и заключаем, что что противоречит условию теоремы.

Результат теоремы 3.6 может быть обобщен на задачи со смешанными краевыми условиями и на задачи с косой производной (см. задачу 3.1). Если граница имеет углы или ребра, на которых производные и не определены, то в приведенном выше виде результаты могут не иметь места даже в случае, если решение и непрерывно в (см. задачу 3.8 а)).