17.6. Оценка вторых производных для уравнений типа уравнения Монжа — Ампера

В этом разделе мы рассмотрим уравнение вида

Как указывалось ранее, уравнение (17.63) эллиптично только тогда, когда матрица Гессе положительно определена, и поэтому естественно ограничиться рассмотрением только выпуклых решений и положительных функций Запишем уравнение (17.63) в виде

где Осуществив вычисления, получаем

где матрица, обратная матрице Следовательно, функция вогнута на конусе неотрицательных матриц в и уравнение (17.64) будет равномерно эллиптическим на компактных подмножествах области на любом выпуклом решении класса Если то можно применить результаты раздела 17.4 и получить внутренние оценки Гёльдера вторых производных решений и, следовательно, с помощью леммы 17.16, оценки производных высокого порядка, если достаточная гладкая функция.

Опишем теперь метод получения внутренних и глобальных оценок вторых производных решений, напоминающий метод получения оценок градиента для неравномерно эллиптических уравнений, описанный в гл 15.

Сначала заметим, на основании уравнения (17.44), что любая чистая вторая производная решения уравнения (17.64) удовлетворяет уравнению

Так как функция и выпукла, то Чтобы оценить с помощью полученного уравнения, рассмотрим положительные функции и положим так что

Учитывая (17.66), получаем

функцию выберем следующим образом:

Для нее и поэтому

в силу (17.65). Если, далее, мы предположим, что выполнены неравенства

то получим

где постоянная С зависит от

Чтобы учесть другие слагаемые в (17.67), мы рассмотрим функцию на и предположим, что функция достигает максимального значения в точке где , Производная будет тогда максимальным собственным значением матрицы

Гессе Поворачивая координаты, мы можем предположить, что матрица Гессе имеет диагональный вид, а вектор 7 совпадает с координатным направлением. Для глобальных оценок мы берем 1, так что в (17.67) не будут присутствовать слагаемые, содержащие Тогда из (17.65) следуечто

в точке у, так что, взяв число 0 достаточно большим, мы получим оценку для через

Внутренний случай более труден, так как функция не может быть взята в виде произвольной срезающей функции (из-за слагаемых . В этом случае будем предполагать, что функция и непрерывна вплоть до и равна на нулю. Выберем так что Кроме того, так как то

в точке у. Далее,

в точке в силу выбора координат. Подставляя полученные оценки в дифференциальное неравенство (17.67), получаем где и следовательно,

где Наконец, для оценки и снизу воспользуемся выпуклостью функции и, в силу чего

в любой точке Сформулируем итоговый результат.

Теорема 17.19. Дуста и выпуклое решение уравнения (17.63) в области функция положительное а функция удовлетворяет (17.68). Тогда если и по

где постоянная С зависит от Если и функция и постоянна на то в любой подобласти имеет место оценка

с постоянной зависящей от где

Если функция выпукла по переменным то оценка (17.71) может быть получена более простыми методами. Более того, в этом случае результат обобщается на более широкий класс функций и решения не обязательно выпуклые (см. задачу 17.5).

Оценка вторых производных решений уравнения (17.64) на границе легко получается из уравнения (17.20). Если мы предположим, что область равномерно выпукла, на где то, учитывая (17.65), первое слагаемое в правой части (17.26) можно записать в виде

Оценка производных в точке следует из теоремы 14.4 или следствия 14.5. Оставшуюся вторую производную оцениваем непосредственно из уравнения (17.64). Так как в главной координатной системе с центром выполняется равенство

где главные кривизны в точке то отсюда, используя (17.70), получаем оценку для Итак, мы доказали следующую глобальную оценку вторых производных.

Теорема 17.20. Пусть и выпуклое решение уравнения (17.64) в функция положительна и граница равномерно выпукла. Тогда

где С зависит от на