вторыми производными к функции и 
удовлетворяющей в 
уравнению 
Из оценок модуля непрерьюности, теорема 14.15, следует, что и 
кроме того, 
Для осуществления этой процедуры также потребуется равномерная ограниченность последовательности 
и поэтому мы потребуем, как и в гл. 10, выполнимость принципа максимума. Если аппроксимировать область 
областями класса 
можно с помощью теоремы 14.15 убрать ограничение 
Мы сформулируем две теоремы существования для общих областей, которые могут быть получены с помощью описанной процедуры. В разделе 16.3 мы рассмотрим аналогичный результат для уравнения минимальных поверхностей и уравнения поверхностей с заданной средней кривизной.
Теорема 15.18. Пусть 
ограниченная область в 
удовлетворяющая условию внешней сферы в каждой точке границы 
Пусть 
эллиптический оператор в 
его коэффициенты 
удовлетворяют условиям теорем 15.3 (или 15.5) и 14.1 и условию (10.10) (или 
Пусть 
Тогда существует решение и задачи Дирихле 
на 
и оно принадлежит 
Для уравнений дивергентной формы (15.37) справедлива следующая теорема.
Теорема 15.19. Пусть 
ограниченная область в 
удовлетворяющая условию внешней сферы в каждой точке границы 
Пусть 
оператор дивергентной формы, его коэффициенты
удовлетворяют условиям теоремы 15.8 и условиям теоремы 10.9 с постоянной 
Пусть 
Тогда существует решение и задачи Дирихле 
на 
и оно принадлежит 
Примечания
Основные идеи получения оценок градиента, связанные с использованием принципа максимума и описанные в разделах 15.1 и 15.2, восходят к Бернштейну [27], [30]. Метод Бернштейна был существенно развит Ладыженской [143] и Ладыженской и Уральцевой [145], [147] для получения глобальной и внутренней оценок градиентов решений равномерно эллиптических уравнений. Позже Серрин [263] с помощью представлений вида (152) обобщил эти результаты на уравнения, похожие на уравнения поверхностей с заданной средней кривизной (10.7). Результаты теорем 15.2 и 15.3 очень близки результатам из [148], 149] (см. также [99], [100]), хотя они, так же как теорема 15.1, формулируются аналогично результатам из [264]. Еще до использования множителей 
авторы в [148], [149] обращают внимание на то, что требуемые условия должны выполняться для оператора; эквивалентного данному. Наш метод отличается от рассмотрений в [148-149] и [264] тем, что рассматриваем решения класса 
вместо решений класса 
Поэтому наши доказательства и результаты остаются справедливыми для решений из 
Глобальная оценка градиента решений уравнений дивергентного вида (теорема 15.6) получена Трудингером [284], а оценки теорем 15.7, 15.8 и 15.9 для равномерно эллиптических уравнений дивергентного вида были получены Ладыженской и Уральцевой [144], [145]. Наше доказательство теоремы 15.8 в некоторых аспектах отличается от доказательств из [145]. Другие оценки градиента для неравномерно эллиптических уравнений дивергентного вида см. в [106], [228], [229]. Ранее в литературе формулировались йекоторые из теорем существования из разделов 15.5 и 15.6; см., например, [147], [263]. Обзорная статья [360] содержит ясное изложение различных аспектов осуществления процедуры доказательства разрешимости. Отметим также, что многие из сформулированных выше теорем существования обобщаются на случай граничных данных класса 
Наконец, мы отметим, что леммой 15.4 положительно решается давно стоявшая задача: выяснить, достаточно ли для справедливости внутренних и глобальных оценок градиента, чтобы выполнялись лишь естественные условия (т.е. когда в 
(см. [150], [293]).
Задачи
(см. скан)
Основной процедурой, используемой при этом, является равномерная на 
аппроксимация функции 
с помощью функций 
и решение соответствующих задач Дирихле 
на 
приводящих к решениям 
Внутренние оценки, теоремы 15.3 и 15.8, в комбинации с внутренними оценками Гёльдера производных (теоремы 13.1 и 13.3) и внутренняя оценка Шаудера (теорема 6.2) гарантируют, что некоторая подпоследовательность последовательности 
равномерно на компактных подмножествах 
сходится вместе с первыми и