17.7. Задача Дирихле для уравнений типа уравнения Монжа — Ампера

Рассмотрения предыдущего раздела сводят изучение разрешимости классической задачи Дирихле для уравнений типа уравнений Монжа - Ампера к получению оценок в Для уравнений с двумя переменными мы можем прямо использовать метод непрерывного продолжения по параметру, привлекая глобальные оценки Гёльдера вторых производных (теорема 17.10). Для больших размерностей также существуют процедуры, использующие только внутренние оценки вторых производных, однако они более сложны, чем процедуры, примененные для равномерно эллиптического случая в разделе 17.5 (см. примечания), В следующем разделе мы рассмотрим полученные недавно глобальные оценки Гёльдера вторых производных, с помощью которых удается несколько приблизить общий случай к двумерному случаю,

Ограничения на рост функции в (17.63) появляются при получении оценок градиента. Для выпуклой в области функции и, очевидно, имеет место равенство

поэтому оценка градиента выпуклого решения уравнения (17,63) сводится к его оценке только на границе. Такие оценки можно получить, как и в квазилинейном случае, с помощью барьеров. Действительно, предположим, что выполнено следующее структурное условие:

для всех х из некоторой окрестности границы где неубьюающая функция Тогда справедлива следующая оценка градиента.

Теорема 17.21. Пусть и выпуклые функции в равномерно выпуклой области такие, что

Тогда

где С зависит от

Доказательство. Пусть охватывающая сфера области для точки и пусть где функция определена в Постоянные и к будут определены далее. Воспользовавшись главной координатной системой для с центром мы можем оценить

причем из структурного условия

коль скоро где Полагая так что и выбирая затем к и а согласно условию (в котором постоянная заменена на и так, чтобы мы получим, что выпуклая функция будет нижним барьером в точке для (17.63) и функции и. Следовательно, в силу принципа сравнения (теорема 17.1), получаем для где постоянная С зависит от Используя выпуклость и, имеем

для всех Отсюда следует оценка (17,79).

Отметим, что уравнение Монжа — Ампера (17.2) охватьюается теоремой 17.21 в случае ограниченной функции а уравнение поверхностей с заданной гауссовой кривизной — только при условии, что кривизна К обращается в нуль на удовлетворяя условию Липшица. Комбинируя теоремы и 1721, мы получаем следующую теорему существования для уравнений типа уравнения Монжа - Ампера с двумя переменными.

Теорема 17.22. Пусть равномерно выпуклая область в с границей Предположим, что положительная функция, принадлежащая , выполнено неравенство структурные условия (17.13), (17.14) и (17.77) с постоянными Тогда классическая задача Дирихле

разрешима и решение и принадлежит для всех

Доказательство, В силу теоремы 17,8 достаточно иметь равномерную оценку в пространстве для некоторого норм решений задач Дирихле

где функция равномерно выпукла и обращается в нуль на границе (см. задачу 17.8). Если величина из теоремы 17,4 бесконечна, то такая оценка сразу следует из теорем и 17.21. В противном случае, выбирая, если надо, новую функцию 0, мы можем удовлетворить условию (например, заменив на решение задачи Дирихле на

Для уравнений Монжа — Ампера с большим числом независимых переменных справедлив следующий аналог теоремы 1722, являющийся следствием глобальной оценки (теорема 17,26) из раздела 17.8,

Теорема Пусть равномерно выпуклая область в с границей Предположим, что положительная функция, принадлежащая выполнены неравенство структурные условия (17,13), (17,14) и (17,77) для Тогда классическая задача Дирихле разрешима, причем решение и принадлежит для всех

Отметим, что теоремы и 17.23 обобщаются на произвольные граничные значения (см. [104], [116]). Используя внутренние оценки вторых производных теоремы 1720, предыдущие теоремы существования можно обобщить на случай более общих

Теорема 17 24. Пусть равномерно выпуклая область в Предположим, что положительная функция, принадлежащая выполнены неравенство структурные условия (17.13), (17.14) и Тогда классическая задача Дирихле (17.80) разрешима, причем решение и принадлежит для всех

Доказательство, Пусть последовательность ограниченных функций из удовлетворяющих условиям: при и пусть возрастающая последовательность равномерно выпуклых подобластей области принадлежащих и удовлетворяющих условиям В силу теорем 17.22 и 17,23 существует для каждого последовательность равномерно выпуклых решений задач Дирихле

Используя оценки теорем 17.4 и 17.21 и внутренние оценки теорем мы получаем, что существует подпоследовательность, равномерно на компактных подмножествах области сходящаяся вместе с первыми и вторыми производными к решению задачи Дирихле

Отсюда, снова в силу теорем 17.4 и 17.25, следует, что для достаточно больших функции и являются решениями (17,80),

Для частного случая уравнений поверхностей с заданной гауссовой кривизной (173) мы получаем из теоремы 17,24 такое следствие.

Следствие 1725. Пусть равномерно выпуклая область в положительная функция, принадлежащая удовлетворяющая условиям

Тогда существует единственная выпуклая функция и гдкая, что на а график функции и имеет гауссову кривизну, равную в каждой точке значению

Оба условия (17.81) следствия 17.25 в определенном смысле необходимы. Действительно, предположим, что в общем уравнении Монжа-Ампера (17,4) функция удовлетворяет неравенству

где положительные функции из соответственно. Тогда если и выпуклое решение уравнения (17.4) в области то его нормальное отображение х совпадает с и является взаимно однозначным отображением. Интегрируя по частям, имеем

Следовательно, условие

необходимо для существования выпуклого решения и. Кроме того, строгое неравенство

необходимо для существования решения и, нормальное отображение которого не совпадает со всем частности, решения и из

Относительно второго условия в заметим, что благодаря обобщению внутренней оценки (теорема мы можем допустить в следствий 17,25 произвольные ненулевые граничные значения тогда и только тогда, когда на [297]. Условие (17,81) аналогично условиям (16.58), (16,60) для уравнения поверхностей с заданной средней кривизной (16.1),