7.5. Пространства ...
Пространства
являются банаховыми пространствами, аналогичными в некотором смысле банаховым пространствам
понятие непрерьгоной дифференцируемо ста заменено на слабую дифференцируемость, а непрерывность по Гёльдеру — на интегрируемость в
степени. При
и неотрицательном целом к мы положим
Ясно, что
является линейным пространством. Норма в
определяется равенством
Мы будем также использовать обозначение II и
вместо
там, где это не будет вызывать неясности. Норму, эквивалентную норме II и
можно ввести равенством
Проверку того, что пространство
является банаховым пространством с нормой (7.22), мы оставляем читателю (задача 7.10).
Банахово пространство
является замыканием
в метрике
Пространства
не совпадают для ограниченных
. В случае
пространства
являются гильбертовыми пространствами со скалярным произведением
Их мы будем обозначать через
соответственно.
Ряд функционально-аналитических свойств пространств (
являются следствием их естественного вложения в произведение
экземпляров пространств
где
число мультииндексов, удовлетворяющих условию
Поскольку конечные произведения и замкнутые подпространства сепарабельного (рефлексивного) банахова пространства являются снова сепарабельными (рефлексивными) пространствами (см. [75]), мы получим, что пространства
сепарабельны при
(рефлексивны при
Цепное правило (теорема 7.8) также переносится на пространства
Действительно, в качестве следствия теоремы 7.8 и определений пространств
непосредственно получаем, что пространство
в формулировке теоремы 7.8 можно заменить на пространство
а если дополнительно
то и на
Локальные пространства
определяются как пространства функций, принадлежащих
для всех
Теорема 7.4