7.5. Пространства ...

Пространства являются банаховыми пространствами, аналогичными в некотором смысле банаховым пространствам понятие непрерьгоной дифференцируемо ста заменено на слабую дифференцируемость, а непрерывность по Гёльдеру — на интегрируемость в степени. При и неотрицательном целом к мы положим

Ясно, что является линейным пространством. Норма в определяется равенством

Мы будем также использовать обозначение II и вместо там, где это не будет вызывать неясности. Норму, эквивалентную норме II и можно ввести равенством

Проверку того, что пространство является банаховым пространством с нормой (7.22), мы оставляем читателю (задача 7.10).

Банахово пространство является замыканием в метрике Пространства не совпадают для ограниченных . В случае пространства являются гильбертовыми пространствами со скалярным произведением

Их мы будем обозначать через соответственно.

Ряд функционально-аналитических свойств пространств ( являются следствием их естественного вложения в произведение экземпляров пространств где число мультииндексов, удовлетворяющих условию Поскольку конечные произведения и замкнутые подпространства сепарабельного (рефлексивного) банахова пространства являются снова сепарабельными (рефлексивными) пространствами (см. [75]), мы получим, что пространства сепарабельны при (рефлексивны при

Цепное правило (теорема 7.8) также переносится на пространства Действительно, в качестве следствия теоремы 7.8 и определений пространств непосредственно получаем, что пространство в формулировке теоремы 7.8 можно заменить на пространство а если дополнительно то и на

Локальные пространства определяются как пространства функций, принадлежащих для всех Теорема 7.4

показывает, что функции из пространства имеющие компактные носители, на самом деле принадлежат пространству Более того, функции из непрерьюно обращающиеся в нуль на принадлежат на самом деле пространству поскольку их можно приблизить функциями с компактными носителями.

Пространства Соболева с и пространства Липшица совпадают. В частности, для любой области для области с достаточно гладкой (например, липшицевой) границей (см. задачу 7.7).