Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕКраткое содержаниеОсновной целью этой книги является систематическое изложение общей теории квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка и используемой при этом линейной теории. Это означает, что мы будем иметь дело с проблемой разрешимости граничных задач (и прежде всего задачи Дирихле) и с соответствующими общими свойствами решений линейных,
и квазилинейных,
уравнений. Здесь Классическим примером линейного эллиптического уравнения является, разумеется, уравнение Лапласа
и его неоднородный вариант — уравнение Пуассона
появляющееся в задаче минимизации площади. Это уравнение является неравномерно эллиптическим Необходимая линейная теория развита в гл. 2-9 (и в части гл. 12). Хотя этот материал интересен сам по себе, особое внимание здесь уделено тем аспектам теории, которые необходимы для изучения нелинейных задач. Поэтому теория делает акцент на слабые условия о коэффициентах и не затрагивает многих важных классических и современных результатов о линейных эллиптических уравнениях. Поскольку в конечном счете нас интересуют классические решения уравнения (1.2), нам в определенный момент потребуется в качестве основы теория классических решений достаточно широкого класса линейных уравнений. Для этого в гл. 6 излагается теория Шаудера, которая по существу является полной теорией уравнений вида (1.1) с коэффициентами, непрерывными по Гёльдеру. В то время как для таких уравнений имеется развитая теория разрешимости и гладкости классических решений, соответствующие результаты для уравнений только с непрерывными коэффициентами могут не иметь места. Естественной стартовой точкой для изучения классических решений является теория уравнений Лапласа и Пуассона. Она изложена в гл. 2 и 4. Имея в виду дальнейшие обобщения, изучение задачи Дирихле для гармонических функций с непрерывными граничными значениями осуществляется с помощью метода Перрона и субгармонических функций. При этом в доказательствах делается особое ударение на принцип максимума и концепцию барьеров, используемую при изучении граничного поведения решений, которые легко распространяются на более общие решения в последующих главах. В гл. 4 мы выводим, исследуя ньютонов потенциал, основные оценки Гёльдера для уравнения Пуассона. Основной результат этой главы (см. теоремы 4.6, 4.8) утверждает, что все функции и, принадлежащие
с постоянной С, зависящей только от а Кульминация теории классических решений линейных эллиптических уравнений второго порядка достигается в теории Шаудера, которая в модифицированном и обобщенном виде представлена в гл. 6. По существу, эта теория распространяет результаты теории потенциала на класс уравнений вида (1.1) с коэффициентами, непрерывными по Гёльдеру. Это осуществляется с помощью простого, но фундаментального способа рассматривать уравнение локально как возмущение уравнения с постоянными коэффициентами, получающегося замораживанием старших коэффициентов в выделенной точке. Кропотливые вычисления, опирающиеся на упомянутые выше оценки для уравнения Пуассона, приводят к неравенству, аналогичному неравенству (1.3), для произвольного решения уравнения (1.1), принадлежащего пространству Роль подобных априорных оценок демонстрируется в гл. 6 в различных применениях, в том числе: для доказательства разрешимости задачи Дирихле с помощью метода продолжения по параметру (теорема 6.8); для доказательства гладкости более высокого порядка решений из Обращаем внимание на многочисленные дополнительные факты, изложенные в гл. 6, которые не являются необходимыми для дальнейшей разработки теории, но которые расширяют сферу применимости основной теории Шаудера. В разделе 6.5 устанавливается, что доказательство разрешимости задачи Дирихле для уравнения (1.1) для достаточно широкого класса областей в случае непрерывнее граничных значений может быть целиком осуществлено с помощью внутренних оценок, благодаря чему упрощается структура теории. В разделе 6.6 теория разрешимости задачи Дирихле распространяется на некоторый класс неравномерно эллиптических уравнений. Здесь мы увидим, как соотношения между геометрическими свойствами границы и вырождением на границе эллиптичности определяют непрерывное принятие граничных значений. Методы доказательств основаны на барьерной технике. Некоторые результаты предвосхищают аналогичные (но более тонкие) результаты для линейных уравнений, рассматриваемых во второй части книги. В разделе 6.7 теория уравнения (1.1) распространяется на регулярные задачи с косой производной. Метод по существу является экстраполяцией к таким же граничным условиям для уравнения Пуассона, рассмотренного ранее, и использует теорию Шаудера (без привлечения барьерной техники). В предыдущих рассмотрениях, особенно в теории существования и в доказательствах с помощью барьеров, важную роль играет принцип максимума для оператора сравнения изложены в гл. 3. Из принципа максимума следуют самые первые и простейшие априорные оценки общей теории. Небезынтересно отметить, что все оценки гл. 4 и 6 могут быть получены с помощью только методов сравнения, опирающихся на принцип максимума, без какого бы то ни было упоминания ньютонова потенциала или интегралов. Другой и более общий подход к изучению линейных задач, не использующий теорию потенциала, может быть развит с помощью методов гильбертова пространства, использующих обобщенные или слабые решения, как в гл. 8. Дня пояснения рассмотрим дифференциальный оператор второго порядка
Если коэффициенты являются достаточно гладкими функциями, то, очевидно, этот оператор входит в класс операторов, рассматриваемых в гл. 6. В случае же, когда коэффициенты уравнения принадлежат более широкому классу функций и когда решение является лишь слабо дифференцируемой функцией (в смысле гл. 7), можно определить слабые или обобщенные решения уравнения
для всех функций Можно говорить также о слабом решении и обобщенной задачи Дирихле
с граничной функцией
а функция Большая часть гл. 3 посвящена теории регулярности слабых решений. Из дополнительной гладкости коэффициентов в тождестве (1.4) следует, что решения оказываются принадлежащими пространствам Теория регулярности слабых решений и соответствующие поточечные оценки являются основой нелинейной теории. Эти результаты служат отправной точкой доказательств методом последовательного улучшения гладкости, типичным для нелинейной теории. Идея, кратко, состоит в том, чтобы начинать со слабых решений квазилинейного уравнения, рассматривая их как слабые решения линейного уравнений, получающегося при подстановке решений в коэффициенты уравнения, а затем доказьюать большую гладкость этих решений. Начиная вновь с полученных (более гладких) решений и повторяя процесс, можно постепенно увеличивать степень гладкости решения до тех пор, пока не будет доказано, что исходное слабое решение является достаточно гладким. Такова суть доказательств регулярности для классических вариационных задач и — в неявном виде — в нелинейной теории, рассматриваемой здесь. Оценки Гёльдера слабых решений, столь необходимые для нелинейной теории, получаются в гл. 6 из неравенств Харнака, доказываемых итерационным методом Мозера (теоремы 8.17, 8.18, 8.20 и 8.24). Эти результаты обобщают фундаментальные априорные оценки Гёльдера, полученные Де Джорджи и являющиеся первым существенным достижением в теории квазилинейных уравнений с числом переменных, большим двух. Доказательства используют интегральные оценки слабых решений В это издание книги мы включили в гл. 8 новый материал о критерии Винера регулярности граничных точек, о собственных значениях и собственных функциях и об оценках Гёльдера первых производных решений линейных уравнений дивергентного вида. Часть I этого издания книги мы завершаем новой главой 9, посвященной изучению сильных решений линейных эллиптических уравнений. Сильным решением называется решение, имеющее вторые производные — по крайней мере, в слабом смысле — и удовлетворяющее уравнений) (1.1) почти всюду. В этой главе переплетаются два направления. Во-первых, доказывается принцип максимума Александрова и соответствующая априорная оценка (теорема 9.1) для решений, принадлежащих соболевскому пространству решения переносится ряд основных результатов гл. 3. Далее в этой главе полученные результаты используются для получения различных поточечных оценок, включая недавние оценки Гёльдера и Харнака, принадлежащие Крылову и Сафонову (теоремы 9.20, 9.22; следствия с 9.24,9.25). Во-вторых, в этой главе развивается Часть II этой книги посвящена в основном задаче Дирихле и соответствующим оценкам для решений квазилинейных уравнений. Частично результаты касаются общего оператора (1.2), а частично - операторов в дивергентной форме
где В гл. 11 излагаются основные результаты, используемые в последующих главах при изучении задачи Дирихле. Мы рассматриваем в основном классические решения, а уравнения могут быть как равномерно эллиптическими, так и неравномерно эллиптическими. При весьма общих условиях любое глобально гладкое решение и граничной задачи для уравнения Общая процедура получения требуемой априорной оценки для возможных решений и является четырехшаговым процессом, состоящим из последовательных оценок величин Как уже отмечалось, оценка для Уравнения с двумя независимыми переменными Особого внимания заслуживает следующий факт: решения равномерно эллиптических линейных уравнений с двумя независимыми переменными удовлетворяют априорной оценке в
в предположении, что функция и непрерывна на замыкании ограниченной выпуклой области В гл. 13, 14 и 15 получаются оценки градиента, участвующие в процедуре доказательства существования, описанной выше. В гл. 13 доказываются фундаментальные результаты Ладыженской и Уральцевой об оценке Гёльдера производных решений эллиптических квазилинейных уравнений. В гл. 14 мы занимаемся оценкой градиента решений эллиптического квазилинейною уравнения на границе. После рассмотрения общих и выпуклых областей мы приводим обзор теории Серрина, которая связывает условия на обобщенную кривизну границы с разрешимостью задачи Дирихле. В частности, из результатов гл. 11, 13 и 14 выводится критерий Дженкинса и Серрина разрешимости задачи Дирихле для уравнения минимальных поверхностей, а именно: эта задача разрешима для гладкой области при производных гладких граничных данных тогда и только тогда, когда средняя кривизна границы (относительно внутренней нормали) неотрицательна в любой точке (теорема 14.14), Глобальные и внутренние опенки градиента решения квазилинейного уравнения доказаны в гл. 15. Используя усовершенствование классической техники Бернштейна, мы получаем оценки В гл. 16 изучается уравнение поверхностей с заданной средней кривизной, для решений которого получается внутренняя оценка градиента (теорема 16.5), а с ее помощью доказываются теоремы существования решения задачи Дирихле для непрерывных граничных значений (теоремы 16.8, 16.10). Мы рассматриваем также семейство уравнений с двумя переменными, в определенном смысле столь же аналогичных уравнений поверхностей с заданной средней кривизной, как равномерно эллиптические уравнения из гл. 12 аналогичны уравнению Лапласа. Для них с помощью обобщения понятия квазиконформного отображения получаются внутренние оценки первых и вторых производных. Оценки вторых производных обеспечивают хорошо известную оценку Хайнца для решений уравнения минимальных поверхностей (теорема 1620) и, кроме того, влекут обобщение знаменитого результата Бернштейна, гласящего, что целые решения уравнения минимальных поверхностей с двумя независимыми переменными являются линейными функциями (следствие 16.19). Возможно, наиболее примечательной особенностью теорем 16.5 и 16.20 является метод. Взамен рассмотрений в области В это издание книги мы добавили новую гл. 17. В ней рассмотрены вполне нелинейные эллиптические уравнения и изложены результаты недавних работ об уравнениях Монжа - Ампера и об уравнениях типа уравнения Беллмана - Пуччи. Это уравнения общего вида
включающие линейные и квазилинейные уравнения вида (1.1) и (1.2) в качестве специальных случаев. Функция Мы завершим этот обзор некоторыми замечаниями читателю. Материал не имеет строгого логического порядка. Так, теория уравнения Пуассона Теория квазилинейных уравнений с двумя независимыми переменными Дополнительные замечанияКроме основ вещественного анализа и линейной алгебры в этой книге не используются другие сведения, и материал книги в целом является автономным. Возможно, многие предварительные сведения из теории потенциала и функционального анализа, равно как и теория пространств Соболева и теоремы о неподвижной точке, могут быть знакомы многим читателям. Но, думается, доказательство теоремы Лере - Шаудера, не использующее понятие топологической степени (теорема 11.6), не столь широко известно. Ряд хорошо известных вспомогательных результатов, таких как интерполяционные неравенства и леммы о продолжении гл. 6, приведены в книге ради полноты изложения. Имеются большие пересечения с материалом книг Ладыженской и Уральцев ой [147] и Морри [208]. От первой из них наша книга отличается используемой аналитической техникой, а также тем, что в нелинейной теории больше внимания обращено на неравномерно эллиптические уравнения. От второй наша книга отличается тем, что непосредственно не посвящена вариационным задачам и методам. Настоящая книга содержит также результаты, полученные после публикации названных двух книг. С другой стороны, наша книга более ограничена содержанием. Среди тем, не рассмотренных в книге, укажем на системы уравнений, полулинейные уравнения, теорию монотонных операторов и разделы, использующие геометрическую теорию меры. В изложении материала, нередко весьма технического, мы не всегда стремились к максимально возможной общности. В частности, это замечание касается используемых модулей непрерывности, оценок, интегральных условий и т. п. Мы ограничили себя рассмотрением условий, описываемых степенными функциями: условие Гёльдера — а не условие Дини, пространства Исторические сведения и библиографические ссылки приводятся, как правило, в примечаниях в конце глав. Примечания не претендуют на полноту, а являются скорее дополнениями к тексту, поясняющими его. Более обстоятельный обзор литературы до 1968 г. имеется в книге Миранды [195]. С целью дополнения текста в конце каждой главы приводятся задачи. Надеемся, что они будут полезными упражнениями для читателя.
|
1 |
Оглавление
|