ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ

Краткое содержание

Основной целью этой книги является систематическое изложение общей теории квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка и используемой при этом линейной теории. Это означает, что мы будем иметь дело с проблемой разрешимости граничных задач (и прежде всего задачи Дирихле) и с соответствующими общими свойствами решений линейных,

и квазилинейных,

уравнений. Здесь и т.д. и используется обычное соглашение о суммировании по повторяющимся индексам. Эллиптичность этих уравнений означает, что матрица коэффициентов является положительно определенной в области изменения соответствующих аргументов. Мы говорим, что уравнение равномерно эллиптично, если отношение у максимального собственного значения к минимальному собственному значению матрицы ограничено. Мы будем иметь дело как с равномерно, так и с неравномерно эллиптическими уравнениями.

Классическим примером линейного эллиптического уравнения является, разумеется, уравнение Лапласа

и его неоднородный вариант — уравнение Пуассона Вероятно, наиболее известным примером квазилинейного эллиптического уравнения является уравнение минимальных поверхностей

появляющееся в задаче минимизации площади. Это уравнение является неравномерно эллиптическим Свойства дифференциальных операторов приведенных примеров объясняют многое в теории общих классов уравнений, рассматриваемых в этой книге.

Необходимая линейная теория развита в гл. 2-9 (и в части гл. 12). Хотя этот материал интересен сам по себе, особое внимание здесь уделено тем аспектам теории, которые необходимы для изучения нелинейных задач. Поэтому теория делает акцент на слабые условия о коэффициентах и не затрагивает многих важных классических и современных результатов о линейных эллиптических уравнениях.

Поскольку в конечном счете нас интересуют классические решения уравнения (1.2), нам в определенный момент потребуется в качестве основы теория классических решений достаточно широкого класса линейных уравнений. Для этого в гл. 6 излагается теория Шаудера, которая по существу является полной теорией уравнений вида (1.1) с коэффициентами, непрерывными по Гёльдеру. В то время как для таких уравнений имеется развитая теория разрешимости и гладкости классических решений, соответствующие результаты для уравнений только с непрерывными коэффициентами могут не иметь места.

Естественной стартовой точкой для изучения классических решений является теория уравнений Лапласа и Пуассона. Она изложена в гл. 2 и 4. Имея в виду дальнейшие обобщения, изучение задачи Дирихле для гармонических функций с непрерывными граничными значениями осуществляется с помощью метода Перрона и субгармонических функций. При этом в доказательствах делается особое ударение на принцип максимума и концепцию барьеров, используемую при изучении граничного поведения решений, которые легко распространяются на более общие решения в последующих главах. В гл. 4 мы выводим, исследуя ньютонов потенциал, основные оценки Гёльдера для уравнения Пуассона. Основной результат этой главы (см. теоремы 4.6, 4.8) утверждает, что все функции и, принадлежащие и являющиеся в области решениями уравнения Пуассона удовлетворяют на любом множестве равномерной оценке вида

с постоянной С, зависящей только от а размерности и от (обозначения см. в разделе 4.1). Эта оценка, носящая внутренний характер, так как и называемая потому внутренней оценкой, может быть усилена до глобальной оценки, т.е. до оценки во всей области для решений, имеющих достаточно гладкие граничные значения, в случае, когда граница области также достаточно гладкая. В гл. 4 оценки вплоть до границы доказываются только для плоской и сферической границ; этого достаточно для дальнейших применений.

Кульминация теории классических решений линейных эллиптических уравнений второго порядка достигается в теории Шаудера, которая в модифицированном и обобщенном виде представлена в гл. 6. По существу, эта теория распространяет результаты теории потенциала на класс уравнений вида (1.1) с коэффициентами, непрерывными по Гёльдеру. Это осуществляется с помощью простого, но фундаментального способа рассматривать уравнение локально как возмущение уравнения с постоянными коэффициентами, получающегося замораживанием старших коэффициентов в выделенной точке. Кропотливые вычисления, опирающиеся на

упомянутые выше оценки для уравнения Пуассона, приводят к неравенству, аналогичному неравенству (1.3), для произвольного решения уравнения (1.1), принадлежащего пространству причем теперь постоянная С зависит также от норм Гёльдера коэффициентов уравнения и, дополнительно, от минимума и максимума собственных значений матрицы коэффициентов в области Эти результаты представлены в виде внутренних оценок на языке весовых внутренних норм (теорема 6.2), а для достаточно гладких граничных значений — в виде глобальных оценок в терминах глобальных норм (теорема 6 6). Здесь мы знакомимся с важной и постоянно используемой концепцией априорных оценок, а именно: оценка (через заданные значения) имеет место для всех возможных решений класса задач, даже если рассматриваемые условия не гарантируют существования таких решений. Большая часть книги посвящена получению априорных оценок для решений различных задач. (Мы пользуемся правом замены латинского выражения a priori единым словом apriori (априорный), которое мы и будем использовать повсюду).

Роль подобных априорных оценок демонстрируется в гл. 6 в различных применениях, в том числе: для доказательства разрешимости задачи Дирихле с помощью метода продолжения по параметру (теорема 6.8); для доказательства гладкости более высокого порядка решений из (теоремы 6.17, 6.18) при выполнении подходящих условий гладкости. В обоих этих случаях априорные оценки обеспечивают для определенных классов решений необходимые свойства компактности, из которых достаточно просто и выводятся эти результаты.

Обращаем внимание на многочисленные дополнительные факты, изложенные в гл. 6, которые не являются необходимыми для дальнейшей разработки теории, но которые расширяют сферу применимости основной теории Шаудера. В разделе 6.5 устанавливается, что доказательство разрешимости задачи Дирихле для уравнения (1.1) для достаточно широкого класса областей в случае непрерывнее граничных значений может быть целиком осуществлено с помощью внутренних оценок, благодаря чему упрощается структура теории. В разделе 6.6 теория разрешимости задачи Дирихле распространяется на некоторый класс неравномерно эллиптических уравнений. Здесь мы увидим, как соотношения между геометрическими свойствами границы и вырождением на границе эллиптичности определяют непрерывное принятие граничных значений. Методы доказательств основаны на барьерной технике. Некоторые результаты предвосхищают аналогичные (но более тонкие) результаты для линейных уравнений, рассматриваемых во второй части книги. В разделе 6.7 теория уравнения (1.1) распространяется на регулярные задачи с косой производной. Метод по существу является экстраполяцией к таким же граничным условиям для уравнения Пуассона, рассмотренного ранее, и использует теорию Шаудера (без привлечения барьерной техники).

В предыдущих рассмотрениях, особенно в теории существования и в доказательствах с помощью барьеров, важную роль играет принцип максимума для оператора (с коэффициентом Принцип максимума - характерная особенность эллиптических уравнений второго порядка, упрощающая построение теории и усиливающая ее результаты. Основные факты о принципе максимума, а также примеры применения методов

сравнения изложены в гл. 3. Из принципа максимума следуют самые первые и простейшие априорные оценки общей теории. Небезынтересно отметить, что все оценки гл. 4 и 6 могут быть получены с помощью только методов сравнения, опирающихся на принцип максимума, без какого бы то ни было упоминания ньютонова потенциала или интегралов.

Другой и более общий подход к изучению линейных задач, не использующий теорию потенциала, может быть развит с помощью методов гильбертова пространства, использующих обобщенные или слабые решения, как в гл. 8. Дня пояснения рассмотрим дифференциальный оператор второго порядка , главная часть которого имеет дивергентную форму:

Если коэффициенты являются достаточно гладкими функциями, то, очевидно, этот оператор входит в класс операторов, рассматриваемых в гл. 6. В случае же, когда коэффициенты уравнения принадлежат более широкому классу функций и когда решение является лишь слабо дифференцируемой функцией (в смысле гл. 7), можно определить слабые или обобщенные решения уравнения принадлежащие соответствующим классам функций. Например, если коэффициенты с ограничены и измеримы в и если функция интегрируема в то функция и называется слабым или обобщенным решением в 12 уравнения если она принадлежит (определения см. в гл. 7) и если выполняется интегральное тождество

для всех функций называемых пробными функциями. Ясно, что если коэффициенты уравнения и функция достаточно гладкие и если слабое или обобщенное решение и принадлежит то функция и является, очевидно, также и классическим решением в 12.

Можно говорить также о слабом решении и обобщенной задачи Дирихле

с граничной функцией понимая под решением и такое слабое решение уравнения, что Если предположить, что минимальное собственное значение матрицы отделено от нуля в 12, в слабом смысле выполняется неравенство

а функция принадлежит то мы, согласно утверждению теоремы 8.3, получим, что обобщенная задача Дирихле имеет единственное решение и в классе Условие (1.5) является аналогом условия для уравнения (1.1), обеспечивающим справедливость принципа максимума для функций, удовлетворяющих неравенству в слабом смысле (теорема 8.1), и, следовательно, единственность решения обобщенной задачи Дирихле. Существование решения в этом случае следует из альтернативы Фредгольма для оператора (теорема 8.6), доказываемой с помощью теоремы Рисса о представлении линейного ограниченного функционала в гильбертовом пространстве

Большая часть гл. 3 посвящена теории регулярности слабых решений. Из дополнительной гладкости коэффициентов в тождестве (1.4) следует, что решения оказываются принадлежащими пространствам (теоремы 8.8, 8.10). С помощью теорем вложения Соболева из гл. 7 доказывается, что достаточно высокая гладкость коэффициентов уравнения приводит к тому, что слабые решения оказьюаются в действительности классическими решениями. Глобальная регулярность этих решений доказывается с помощью распространения в нутре шей регулярности до границы при условии, что граничные данные являются достаточно гладкими (теоремы 8.13, 8.14).

Теория регулярности слабых решений и соответствующие поточечные оценки являются основой нелинейной теории. Эти результаты служат отправной точкой доказательств методом последовательного улучшения гладкости, типичным для нелинейной теории. Идея, кратко, состоит в том, чтобы начинать со слабых решений квазилинейного уравнения, рассматривая их как слабые решения линейного уравнений, получающегося при подстановке решений в коэффициенты уравнения, а затем доказьюать большую гладкость этих решений. Начиная вновь с полученных (более гладких) решений и повторяя процесс, можно постепенно увеличивать степень гладкости решения до тех пор, пока не будет доказано, что исходное слабое решение является достаточно гладким. Такова суть доказательств регулярности для классических вариационных задач и — в неявном виде — в нелинейной теории, рассматриваемой здесь.

Оценки Гёльдера слабых решений, столь необходимые для нелинейной теории, получаются в гл. 6 из неравенств Харнака, доказываемых итерационным методом Мозера (теоремы 8.17, 8.18, 8.20 и 8.24). Эти результаты обобщают фундаментальные априорные оценки Гёльдера, полученные Де Джорджи и являющиеся первым существенным достижением в теории квазилинейных уравнений с числом переменных, большим двух. Доказательства используют интегральные оценки слабых решений и получаются с помощью соответствующего выбора пробных функций в тождестве (1.4). Выбор пробных функций является основным техническим приемом для получения оценок, используемым постоянно в этой книге.

В это издание книги мы включили в гл. 8 новый материал о критерии Винера регулярности граничных точек, о собственных значениях и собственных функциях и об оценках Гёльдера первых производных решений линейных уравнений дивергентного вида.

Часть I этого издания книги мы завершаем новой главой 9, посвященной изучению сильных решений линейных эллиптических уравнений. Сильным решением называется решение, имеющее вторые производные — по крайней мере, в слабом смысле — и удовлетворяющее уравнений) (1.1) почти всюду. В этой главе переплетаются два направления. Во-первых, доказывается принцип максимума Александрова и соответствующая априорная оценка (теорема 9.1) для решений, принадлежащих соболевскому пространству посредством чего на неклассические

решения переносится ряд основных результатов гл. 3. Далее в этой главе полученные результаты используются для получения различных поточечных оценок, включая недавние оценки Гёльдера и Харнака, принадлежащие Крылову и Сафонову (теоремы 9.20, 9.22; следствия с 9.24,9.25). Во-вторых, в этой главе развивается -теория линейных эллиптических уравнений второго порядка, аналогичная теории Шаудера, изложенной в гл. 6. Основная оценка для решений уравнения Пуассона — неравенство Кальдерона — Зигмунда (теорема 9.9) — получается из интерполяционной теоремы Марцинкевича без применения методов преобразования Фурье. Внутренние и глобальные оценки в пространствах Соболева установлены в теоремах 9.11, 9.13 и применяются к задаче Дирихле для сильных решений в теореме 9.15 и в следствии 9.18.

Часть II этой книги посвящена в основном задаче Дирихле и соответствующим оценкам для решений квазилинейных уравнений. Частично результаты касаются общего оператора (1.2), а частично - операторов в дивергентной форме

где векторная и соответственно скалярная функции, определенные на . В гл. 10 принцип максимума и принципы сравнения (аналогичные результатам гл. 3) распространяются на решения и субрешения квазилинейных уравнений. В частности, получены априорные оценки для решений неравенства (уравнения где операторе дивергентной форме, удовлетворяющий определенным структурным условиям, более общим, чем условие эллиптичности (теорема 10.9).

В гл. 11 излагаются основные результаты, используемые в последующих главах при изучении задачи Дирихле. Мы рассматриваем в основном классические решения, а уравнения могут быть как равномерно эллиптическими, так и неравномерно эллиптическими. При весьма общих условиях любое глобально гладкое решение и граничной задачи для уравнения в области с гладкой границей может быть получено как неподвижная компактного оператора действующего из с произвольным a . В приложениях функция где и является единственным решением линейной задачи, получающейся при подстановке функции и в коэффициенты оператора Из теоремы Шаудера о неподвижной точке (доказанной в гл. 11) следует существование решения граничной задачи при условии, что справедлива априорная оценка в для решений некоторого непрерывного семейства уравнений где (теоремы 11.4, 11.7). Гл. 13—15 посвящены получению таких оценок для достаточно широкого класса задач Дирихле.

Общая процедура получения требуемой априорной оценки для возможных решений и является четырехшаговым процессом, состоящим из последовательных оценок величин для некоторого Каждая из этих оценок использует предыдущую, а конечная оценка для используется в доказательстве существования решения, основанном на теореме Лере — Шаудера.

Как уже отмечалось, оценка для обсуждается в гл. 10. В последующих главах эта оценка или имеется в условиях, или следует из свойств решений уравнений.

Уравнения с двумя независимыми переменными занимают в теории особое место. Это обусловлено, в частности, существованием сильных методов, созданных для таких уравнений, а также наличием результатов, присущих только этим уравнениям и не имеющих аналогов для уравнений с числом переменных, большим двух. К уравнениям с двумя независимыми переменными применимы метод квазиконформных отображений и методы, использующие дивергентную структуру уравнений Они сравнительно просто приводят к требуемым априорным оценкам в из которых легко вытекает разрешимость задачи Дирихле.

Особого внимания заслуживает следующий факт: решения равномерно эллиптических линейных уравнений с двумя независимыми переменными удовлетворяют априорной оценке в с постоянными, зависящими только от постоянной эллиптичности и верхних граней модулей коэффициентов без каких бы то ни было предположений о гладкости (теорема 12.4). Для уравнений с числом переменных, большим двух, такая оценка в и даже оценка градиента при столь общих условиях неизвестны. Другой специфической особенностью двумерной теории является существование априорной оценки в оценки вида для решения и произвольного эллиптического уравнения

в предположении, что функция и непрерывна на замыкании ограниченной выпуклой области и принимает граничное значение на причем функция удовлетворяет условию ограниченности наклона (или условию трех точек) с постоянной К. Элементарное доказательство этого классического результата, обычно получаемого с помощью теоремы Радо о седловых поверхностях, дано в лемме 12.6. При наличии оценки градиента, выполняющейся для всех решений и общего квазилинейного уравнения (1.7) с коэффициентами и т.д., таких, что на задача Дирихле с функцией сводится к задаче Дирихле для равномерно эллиптического уравнения, рассмотренной в теореме 12,5. В теореме 12.7 мы получаем решение общей задачи Дирихле для уравнения (1.7) в предположении, что коэффициенты локально непрерывны по Гёльдеру, а граничные значения удовлетворяют условию ограниченности наклона (без дополнительных требований о гладкости этих значений).

В гл. 13, 14 и 15 получаются оценки градиента, участвующие в процедуре доказательства существования, описанной выше. В гл. 13 доказываются фундаментальные результаты Ладыженской и Уральцевой об оценке Гёльдера производных решений эллиптических квазилинейных уравнений. В гл. 14 мы занимаемся оценкой градиента решений эллиптического квазилинейною уравнения на границе. После рассмотрения общих и выпуклых областей мы приводим обзор теории Серрина, которая связывает условия на обобщенную кривизну границы с разрешимостью задачи Дирихле. В частности, из результатов гл. 11, 13 и 14 выводится критерий Дженкинса и Серрина разрешимости задачи Дирихле для уравнения

минимальных поверхностей, а именно: эта задача разрешима для гладкой области при производных гладких граничных данных тогда и только тогда, когда средняя кривизна границы (относительно внутренней нормали) неотрицательна в любой точке (теорема 14.14),

Глобальные и внутренние опенки градиента решения квазилинейного уравнения доказаны в гл. 15. Используя усовершенствование классической техники Бернштейна, мы получаем оценки через для класса уравнений, содержащего равномерно эллиптические уравнения, удовлетворяющие естественным условиям роста, и уравнения, имеющие такие же структурные свойства, как и уравнение поверхностей с заданной средней кривизной (теорема 15.2). Вариант нашего метода приводит к внутренним оценкам градиента для более узкого класса уравнений (теорема 15.3). Мы также рассматриваем равномерно эллиптические и неравномерно эллиптические уравнения дивергентной формы (теоремы 15.6, 15.7 и 15.8). В этих случаях с помощью соответствующего выбора пробных функций получаются оценки градиента решений при других условиях на коэффициенты, отличных от условий общего случая. Гл. 15 мы завершаем серией теорем существования, иллюстрирующих широту охвата теории. Все эти теоремы получаются с помощью различных комбинаций априорных оценок из гл. 10, 14 и 15 и разумного выбора соответствующих семейств задач, к которым применима теорема 11.8.

В гл. 16 изучается уравнение поверхностей с заданной средней кривизной, для решений которого получается внутренняя оценка градиента (теорема 16.5), а с ее помощью доказываются теоремы существования решения задачи Дирихле для непрерывных граничных значений (теоремы 16.8, 16.10). Мы рассматриваем также семейство уравнений с двумя переменными, в определенном смысле столь же аналогичных уравнений поверхностей с заданной средней кривизной, как равномерно эллиптические уравнения из гл. 12 аналогичны уравнению Лапласа. Для них с помощью обобщения понятия квазиконформного отображения получаются внутренние оценки первых и вторых производных. Оценки вторых производных обеспечивают хорошо известную оценку Хайнца для решений уравнения минимальных поверхностей (теорема 1620) и, кроме того, влекут обобщение знаменитого результата Бернштейна, гласящего, что целые решения уравнения минимальных поверхностей с двумя независимыми переменными являются линейными функциями (следствие 16.19). Возможно, наиболее примечательной особенностью теорем 16.5 и 16.20 является метод. Взамен рассмотрений в области мы работаем на поверхности являющейся графиком решения и, и используем различные соотношения между тангенциальной составляющей градиента, оператором Лапласа на 5 и средней кривизной поверхности

В это издание книги мы добавили новую гл. 17. В ней рассмотрены вполне нелинейные эллиптические уравнения и изложены результаты недавних работ об уравнениях Монжа - Ампера и об уравнениях типа уравнения Беллмана - Пуччи. Это уравнения общего вида

включающие линейные и квазилинейные уравнения вида (1.1) и (1.2)

в качестве специальных случаев. Функция определена для где линейное пространство вещественных симметрических матриц порядка Метод продолжения по параметру (теорема 17.8) сводит изучение разрешимости задачи Дирихле для уравнения (1.8) к доказательству оценок в с некоторым для вполне нелинейных уравнений дополнительно к оценкам первых производных, требующимся для изучения квазилинейного случая, нужны еще и оценки вторых производных. Такие оценки получаются для уравнений с двумя независимыми переменными (теоремы 17.9, 17.10), для равномерно эллиптических уравнений (теоремы 17.14, 17.15) и для уравнений типа уравнения Монжа — Ампера (теоремы 17.19, 17.20, 17.26). Из них, в частности, следуют недавние результаты о разрешимости задачи Дирихле для равномерно эллиптических уравнений, полученные Эвансом, Крыловым и Лионсом (теоремы 17.17, 17.18), и для уравнений типа уравнения Монжа — Ампера, полученные Крыловым, Каффарелли, Ниренбергом и Спруком (теорема 17.23).

Мы завершим этот обзор некоторыми замечаниями читателю. Материал не имеет строгого логического порядка. Так, теория уравнения Пуассона должна, естественно, следовать за уравнением Лапласа Но, учитывая элементарность утверждений о принципе максимума и возможность пораньше познакомить читателя с некоторыми общими задачами для уравнений с переменными коэффициентами, мы поместили соответствующий материал сразу после гл. 2. В действительности общий принцип максимума не используется до теории разрешимости гл. 6. Основной материал по функциональному анализу для теории Шаудера необходим в более слабом виде: достаточно знать принцип сжимающих отображений и основные факты теории банаховых пространств, исключая доказательство альтернативы в теореме 6.15. Для изучения нелинейных задач во второй части достаточно знать результаты разделов 1—3 гл. 6. В зависимости от интересов читателя изучение линейной теории можно начать прямо с -теории, излагаемой в гл. 8; для этого достаточно знакомство с предварительным материалом по функциональному анализу и с теорией слабо дифференцируемых функций Неравенство Харнака и оценки Гёльдера из гл. 8 не используются до гл. 13.

Теория квазилинейных уравнений с двумя независимыми переменными по существу не использует гл. 7-11, ее можно изучать сразу после гл. 6, ознакомившись лишь с теоремой Шаудера о неподвижной точке (теорема 11.1). Метод квазиконформных отображений вновь встречается в гл. 16, остальные главы не используют гл. 12. После ознакомления с основами нелинейной теории в гл. 11 читатель может непосредственно приступить к изучению «-мерной теории, излагаемой в гл. 13-17. Гл. 16 в целом не использует гл. 13—15. Гл. 6 и 9 достаточно подготавливают к усвоению большей части результатов гл. 17.

Дополнительные замечания

Кроме основ вещественного анализа и линейной алгебры в этой книге не используются другие сведения, и материал книги в целом является автономным. Возможно, многие предварительные сведения из теории

потенциала и функционального анализа, равно как и теория пространств Соболева и теоремы о неподвижной точке, могут быть знакомы многим читателям. Но, думается, доказательство теоремы Лере - Шаудера, не использующее понятие топологической степени (теорема 11.6), не столь широко известно. Ряд хорошо известных вспомогательных результатов, таких как интерполяционные неравенства и леммы о продолжении гл. 6, приведены в книге ради полноты изложения.

Имеются большие пересечения с материалом книг Ладыженской и Уральцев ой [147] и Морри [208]. От первой из них наша книга отличается используемой аналитической техникой, а также тем, что в нелинейной теории больше внимания обращено на неравномерно эллиптические уравнения. От второй наша книга отличается тем, что непосредственно не посвящена вариационным задачам и методам. Настоящая книга содержит также результаты, полученные после публикации названных двух книг. С другой стороны, наша книга более ограничена содержанием. Среди тем, не рассмотренных в книге, укажем на системы уравнений, полулинейные уравнения, теорию монотонных операторов и разделы, использующие геометрическую теорию меры.

В изложении материала, нередко весьма технического, мы не всегда стремились к максимально возможной общности. В частности, это замечание касается используемых модулей непрерывности, оценок, интегральных условий и т. п. Мы ограничили себя рассмотрением условий, описываемых степенными функциями: условие Гёльдера — а не условие Дини, пространства а не пространства Орлича, структурные условия в терминах степеней а не в терминах более общих функций от . Модифицируя доказательства, читатель самостоятельно может получить соответствующие обобщения.

Исторические сведения и библиографические ссылки приводятся, как правило, в примечаниях в конце глав. Примечания не претендуют на полноту, а являются скорее дополнениями к тексту, поясняющими его. Более обстоятельный обзор литературы до 1968 г. имеется в книге Миранды [195]. С целью дополнения текста в конце каждой главы приводятся задачи. Надеемся, что они будут полезными упражнениями для читателя.