13.2. Уравнения с двумя переменными

Если функция удовлетворяет эллиптическому в уравнению (13.1), то производные являются обобщенными решениями в линейных эллиптических уравнений

к которым применимы методы для уравнений в дивергентной форме. Поэтому, если числа удовлетворяют неравенствам

для всех то справедлива следующая теорема.

Теорема 13.3. Пусть функция и удовлетворяет в уравнению оператор эллиптичен в коэффициенты принадлежат Тогда в любой подобласти выполняется неравенство

где

Теорема 13.4. Пусть функция и удовлетворяет в оператор эллиптичен в коэффициенты принадлежат Тогда если на то

где

Заметим, что в гл. 12 с помощью метода квазиконформных отображений дано другое доказательство теоремы 13.3. Отметим также, что в случае двух переменных доказательство оценки Гёльдера для линейных уравнений дивергентного вида проще, чем в случае большего числа переменных (см. задачу 8.5). Замечание, сделанное к теореме 13.2, очевидно, применимо также и к теоремам 13.3 и 13.4.