5.3. Альтернатива Фредгольма

Пусть и — линейные нормированные пространства. Отображение называется компактным (или вполне непрерывным), если отображает ограниченные множества в в относительно компактные множества в или, эквивалентно, если отображает любую ограниченную последовательность элементов пространства в последовательность элементов пространства которая содержит сходящуюся последовательность. Можно показать, что компактное линейное отображение является непрерывным, однако обратное утверждение, вообще говоря, не имеет места, за исключением случая конечномерного пространства

Альтернатива Фредгольма (или теория Рисса — Шаудера) относится к теории компактных линейных операторов, отображающих пространство V в себя, и является обобщением теории линейных отображений конечномерных пространств.

Теорема 5.3. Пусть компактное линейное отображение линейного нормированного пространства V в себя. Тогда или

(i) однородное уравнение имеет нетривиальное решение или

(ii) для каждого , уравнение у имеет единственное решение Кроме того, оператор , существование которого утверждается в случае является ограниченным.

Доказательство теоремы 5.3 использует следующий простой результат Рисса.

Лемма 5.4. Пусть V - линейное нормированное пространство и замкнутое подпространство не совпадающее с Тогда для любого существует элемент удовлетворяющий условиям

Доказательство. Пусть Так как замкнуто, то Поэтому существует такой элемент что Полагая имеем и для любого

Ясно, что если то можно взять выбирая элемент ортогональным к Это же можно сделать в любом гильбертовом пространстве. Однако в общем случае взять в равным 1 нельзя: лемма 5.4 утверждает существование лишь "почти ортогонального" к элемента.

Доказательство теоремы 5.3. Удобно разбить доказательство на четыре этапа.

1) Пусть где I - тождественное отображение, и пусть нуль-пространство (ядро Тогда существует такая постоянная К, что

Доказательство. Предположим, что утверждение неверно. Тогда существует последовательность , удовлетворяющая условиям Выберем последовательность так, чтобы Тогда для имеем так что последовательность сходится к 0. А так как отображение компактно, то переходя, если в этом есть необходимость, к подпоследовательности и обозначая ее также через мы можем считать, что последовательность сходится к элементу Тогда мы имеем, поскольку что и последовательность также сходится к а следовательно, Однако это приводит к противоречию, так как

2) Пусть область значений Тогда замкнутое подпространство

Доказательство. Пусть такая последовательность в что последовательность их образов сходится к элементу Чтобы показать замкнутость мы должны показать, что для некоторого элемента . В силу предыдущего результата последовательность где ограничена. Выбирая как и ранее, и полагая мы имеем, что последовательность ограничена, в то время как последовательность сходится к у. Так как компактно, то переходя, если в этом есть необходимость, к подпоследовательности и обозначая ее также через мы можем считать, что последовательность сходится к элементу Тогда сама последовательность сходится к элементу , а в силу непрерывности получаем равенство Следовательно, замкнуто. то То есть если случай (i) теоремы 5.3 не имеет места, то имеет место случай

Доказательство. В силу предыдущих утверждений множества определенные равенствами образуют невозрастающую последовательность замкнутых подпространств Предположим, что никакие два из этих пространств не совпадают. Тогда каждое является собственным подпространством своего предыдущего и не совпадает с ним. Следовательно, по лемме 5.4 существует такая последовательность что упеап, Это значит, что если то

с некоторым Отсюда следует, что а это противоречит компактности

Поэтому существует такое целое число к, что для всех До этого момента мы не пользовались условием Пусть теперь у — произвольный элемент У. Тогда при некотором Следовательно, и поэтому так как Итак, ддявсех

4) Если то Следовательно, имеет место либо случай случай

Доказательство. Определим неубывающую последовательность замкнутых подпространств полагая Замкнутость следует из непрерьюности Используя результат леммы 5.4 и рассуждая подобно тому, как это мы делали на третьем этапе, получаем, что для всех не меньших некоторого целого Тогда если то любой элемент , представляется в виде с некоторым Следовательно, так что Отсюда Утверждение 4) доказано.

Ограниченность оператора в случае (ii) следует из и утверждения 1). Заметим, что доказательство можно несколько упростить, полагая на этапах 1) и 2) и заметив, что этап 4) не зависит от предыдущих.

Таким образом, теорема 5.3 полностью доказана.

Из теоремы 5.3 и леммы 5.4 вытекают некоторые утверждения о структуре спектра компактных линейных операторов Число X называется собственным значением оператора если существует ненулевой элемент (он называется собственным вектором), удовлетворяющий равенству Ясно, что собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, должны быть линейно независимыми. Размерность нуль-пространства оператора называется кратностью собственного значения Если число не является собственным значением то из теоремы 5.3 следует, что резольвента определена на всем V и является ограниченным линейным отображением на себя. Из леммы 5.4 мы можем вывести следующий результат.

Теорема 5.5. Множество собственных значений компактного линейного отображения линейного нормированного пространства в себя является не более чем счетным и не имеет предельных точек, исключая, быть может у точку При этом каждое ненулевое собственное значение имеет конечную кратность.

Доказательство. Предположим, что существуют последовательность не обязательно различных собственных значений такая, что и линейно независимая последовательность соответствующих собственных векторов Пусть замкнутое подпространство, натянутое на По лемме 5.4 существует такая последовательность что Если и то

где

и аналогично Поэтому имеем неравенство

которое в силу предположения противоречит компактности оператора Следовательно, сделанное в начале доказательства предположение ошибочно, а это влечет справедливость теоремы.