10.4. Принципы сравнения для операторов в дивергентной форме

В случае, когда оператор имеет дивергентную форму (10.5), можно получить следующие интересные варианты теоремы 10.1. Напомним некоторые определения гл. 8. В случае, когда коэффициенты локально интегрируемые в слабо дифференцируемая в функция и удовлетворяет в неравенству (равенству неравенству , если

для всех неотрицательных функций . В следующей теореме даны три различных варианта принципа сравнения.

Теорема 10.7. Пусть оператор эллиптичен в если коэффициенты непрерывно дифференцируемы по функция В при фиксированных не убывает по z и пусть выполняется одно из следующих условий:

(i) вектор-функция А не зависит от z;

(ii) функция независит от

- неотрицатеаъно определенная в Тогда если функции из удовлетворяют неравенствам на то и в

Доказательство. Определим

Тогда

для всех неотрицательных Следовательно, если оператор оператор вида

Поскольку , то в силу наложенных условий существуют положительные постоянные такие, что

Это значит, что оператор строго эллиптичен в и имеет ограниченные коэффициенты. Утверждение теоремы 10.7 можно теперь получить непосредственно из результатов гл. 8. В частности, если выполнено условие (i), то и поэтому в силу слабого принципа максимума (теорема 8.1) в выполняется неравенство Заключительная часть доказательства теоремы 10.7 непосредственно следует из задачи 8.1. Несмотря на это, мы осуществим полное доказательство здесь. Если выполнено условие (ii), то Заметим, что это условие на оператор эквивалентно условию на сопряженный оператор Для определим

Подставляя в (1022), получаем

Отсюда с помощью неравенства Юнга (7,6) следует неравенство

Применяя теперь неравенство Пуанкаре (7,44), приходим к неравенству

Устремляя видим, что функция должна тождественно равняться нулю в Это и означает, что

Наконец, если выполнено условие то, положив после подстановки в (10.22) получим, что

так что в силу неравенства Юнга (7.6)

Отсюда при любом

и, поскольку на то

Вновь устремляя получаем, как и ранее, что и потому

Заметим, что при выполнении условия (i) теоремы 10,7 достаточно предполагать, что и что производные коэффициентов принадлежат . В этом легко убедиться, применяя результат теоремы 10.7 в подобласти Аналогичное обобщение справедливо и в других случаях, если коэффициенты удовлетворяют подходящему равномерному структурному условию.