3.3. Априорные оценки

Принцип максимума позволяет получать также простые поточечные оценки решений неоднородного уравнения в ограниченной области. Отметим, что при этом используются только эллиптичность оператора и ограниченность коэффициентов. Эти оценки важны при изучении нелинейных задач.

Теорема 3.7. Пусть в ограниченной области оператор эллиптичен в Тогда

где постоянная С зависит только от диаметра области и постоянной . В частности, если лежит между двумя параллельными плоскостями, удаленными друг от друга на расстояние то оценка (3.12) имеет место с постоянной

Доказательство. Пусть область лежит в полосе имеем:

Пусть Тогда, так как на . Итак, для случая мы получаем требуемый результат:

С постоянной Заменяя на мы получаем требуемое утверждение и в случае

В гл. 8 и 9 теорема 3.7 будет усилена: будут установлены аналогичные оценки через интегральные нормы

Если условие не выполняется, то можно получить аналогичные (3.12) априорные оценки, предполагая, что область лежит между двумя достаточно близкими параллельными плоскостями.

Следствие 3.8. Пусть в ограниченной области оператор эллиптичен, а и Пусть С - постоянная из теоремы 3.7.

Тогда

Замечание. Так как в качестве постоянной С в оценке (3.12) можно взять число где ширина полосы, содержащей то в предположении ограниченности величин условие (3.13) будет выполнено, если только область будет достаточно узкой. Если (т.е. если то и оценка (3.14) совпадает с оценкой (3.12).

Доказательство следствия 3. Представим выражение в виде Оценка (3.12) дает

Из этого неравенства и условия (3.13) следует оценка (3.14).

Из следствия 3.8 немедленно вытекает единственность решения задачи Дирихле в достаточно малой области (в предположении, как обычно, ограниченности сверху величин