ГЛАВА 14. ГРАНИЧНЫЕ ОЦЕНКИ ГРАДИЕНТА

Анализ доказательства теоремы 11.5 показывает, что для эллиптических операторов вида (11.7) или (11.8) разрешимость классической задачи Дирихле с гладкими данными зависит только от выполнимости второго этапа процедуры доказательства существования, т. е. от существования оценки значений градиента на границе. В этой главе мы получим различные виды условий для общего уравнения

в при которых имеет место граничная оценка градиента решений. Эти условия являются комбинациями структурных условий на оператор и геометрических условий на область Мы увидим, что вопрос об оценке градиента в теории квазилинейных эллиптических уравнений не является столь глубоким, как другие вопросы, такие, например, как оценки Гёльдера гл. 6 и 13. Получение граничных оценок градиента сводится, благодаря классическому принципу максимума, к здравому и достаточно естественному выбору барьерных функций. Тем не менее эти оценки представляют значительный интерес, так как они оказываются главным фактором в определении характера разрешимости задачи Дирихле. Это будет подтверждено в конце главы результатами о неразрешимости.

Используемая далее разновидность метода барьеров является подходящей для данной ситуации и представляет собой модификацию идей, встречавшихся в гл. 2 и 6.

Пусть эллиптический оператор вида

где неубывающая по z функция. Предположим, что функция и удовлетворяет в уравнению Предположим, что в некоторой окрестности точки существуют две функции такие, что выполнены условия:

В силу принципа сравнения (теорема 10.1), примененного в области

имеем

и поэтому на основании (ii):

Таким образом, нормальные производный функций в точке в предположении их существования, удовлетворяют неравенствам

Функции назовем верхним и нижним барьерами в точке для оператора и функции и. Их существование для всех точек и равномерная ограниченность их градиентов и приводят к требуемой граничной оценке градиента функции, удовлетворяющей в уравнению

Прежде чем приступить к построению барьеров, выведем вспомогательную формулу. Пусть, во-первых, некоторый интервал в и пусть где на Тогда для имеем:

причем аргументами у функций и являются Пусть где Тогда в точках имеем

причем аргументами у функций и являются Определив функцию формулой

убеждаемся, что для преобразованного оператора в формуле (14.5) будет

Хотя формула (14.5) уже была неявно использована в гл. 13 при сведении к нулевым граничным значениям, явное соотношение (14.7) важно для дальнейших целей. Как будет видно в этой главе, формулы (14.4) и (14.5) служат для получения некоторых обобщений структурных условий, необходимых для наших построений барьеров. Мы будем всюду в этой главе предполагать, что оператор эллиптичен в области