ГЛАВА 14. ГРАНИЧНЫЕ ОЦЕНКИ ГРАДИЕНТА
Анализ доказательства теоремы 11.5 показывает, что для эллиптических операторов вида (11.7) или (11.8) разрешимость классической задачи Дирихле с гладкими данными зависит только от выполнимости второго этапа процедуры доказательства существования, т. е. от существования оценки значений градиента на границе. В этой главе мы получим различные виды условий для общего уравнения
в
при которых имеет место граничная оценка градиента решений. Эти условия являются комбинациями структурных условий на оператор
и геометрических условий на область
Мы увидим, что вопрос об оценке градиента в теории квазилинейных эллиптических уравнений не является столь глубоким, как другие вопросы, такие, например, как оценки Гёльдера гл. 6 и 13. Получение граничных оценок градиента сводится, благодаря классическому принципу максимума, к здравому и достаточно естественному выбору барьерных функций. Тем не менее эти оценки представляют значительный интерес, так как они оказываются главным фактором в определении характера разрешимости задачи Дирихле. Это будет подтверждено в конце главы результатами о неразрешимости.
Используемая далее разновидность метода барьеров является подходящей для данной ситуации и представляет собой модификацию идей, встречавшихся в гл. 2 и 6.
Пусть
эллиптический оператор вида
где
неубывающая по z функция. Предположим, что функция и
удовлетворяет в
уравнению
Предположим, что в некоторой окрестности
точки
существуют две функции
такие, что выполнены условия:
В силу принципа сравнения (теорема 10.1), примененного в области
имеем
и поэтому на основании (ii):
Таким образом, нормальные производный функций
в точке
в предположении их существования, удовлетворяют неравенствам
Функции
назовем верхним и нижним барьерами в точке
для оператора
и функции и. Их существование для всех точек
и равномерная ограниченность их градиентов и приводят к требуемой граничной оценке градиента функции, удовлетворяющей в
уравнению
Прежде чем приступить к построению барьеров, выведем вспомогательную формулу. Пусть, во-первых,
некоторый интервал в
и пусть
где
на
Тогда для
имеем:
причем аргументами у функций
и
являются
Пусть
где
Тогда в точках
имеем
причем аргументами у функций
и
являются
Определив функцию
формулой
убеждаемся, что для преобразованного оператора
в формуле (14.5) будет
Хотя формула (14.5) уже была неявно использована в гл. 13 при сведении к нулевым граничным значениям, явное соотношение (14.7) важно для дальнейших целей. Как будет видно в этой главе, формулы (14.4) и (14.5) служат для получения некоторых обобщений структурных условий, необходимых для наших построений барьеров. Мы будем всюду в этой главе предполагать, что оператор
эллиптичен в области