Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 4.3. Оценки Гельдера вторых производныхСледующая лемма дает основную для излагаемой далее теории оценку. Лемма 4.4. Пусть потенциал с плотностью
т. е.
с постоянной Доказательство.
В силу
где Далее, для произвольной другой точки
Обозначая
где интегралы
Эти интегралы оцениваются следующим образом:
(кликните для просмотра скана) Объединяя эти оценки, имеем
где постоянная Доказываемая оценка следует теперь из (4.12) и (4.13). Замечание, Если
Из леммы 4.4 немедленно вытекают оценки Гёльдера решений уравнения Пуассона. Теорема 4.5. Пусть функция и
Доказательство. В силу представления (2.17)
так что оценки для Освободиться от условия компактности носителя функции и, а это нужно для получения следующих внутренних оценок норм Гёльдера решений уравнения Пуассона, можно различными способами (см. также задачу 4.4), Теорема 4.6. Пусть
с постоянной Доказательство. В силу представления Грина (2.16) или в силу леммы 4.2 мы можем записать для
Последнее неравенство для уравнения Пуассона в шаре пространства Непосредственным следствием внутренней оценки (4.16) является равностепенная непрерывность на компактных подмножествах вторых производных любого ограниченного семейства решений уравнения Пуассона Следствие 4.7. Любая ограниченная последовательность решений в области Иногда предпочтительнее работать с другой (но эквивалентной) формой внутренней оценки (4.16), с оценкой в терминах внутренних норм, используемых далее. Для
В этих обозначениях
Заметим, что величины и являются нормами
Если
Здесь удобно ввести норму
являющуюся частным случаем некоторых норм, которые будут определены далее. Из теоремы 4.6 мы можем теперь для случая произвольных областей получить внутреннюю оценку, кото рая, как будет показано в гл. 6, в весьма похожем виде переносится на общие эллиптические уравнения. Теорема 4.8. Пусть функция и
где Доказательство. Если одна из величин
(в силу (4.16))
Для получения оценки
Из полученных оценок следует (4.19). Из доказанного утверждения следует существование оценок на компактных подмножествах для С помощью результата о компактности, следствие 4.7, мы можем теперь получить теорему существования для уравнения Пуассона Теорема 4.9. Пусть В - шар в удовлетворяющая уравнению
с зависящей только от 0 постоянной С Доказательство. Оценка (4.21) следует из рассуждений, основанных на построении несложных барьеров. А именно, пусть
Предположим теперь, что
т.е. справедлива оценка (4.21) с постоянной
и пусть
так что последовательность Несложно построить пример, показывающий, что при
|
1 |
Оглавление
|