4.3. Оценки Гельдера вторых производных

Следующая лемма дает основную для излагаемой далее теории оценку. Лемма 4.4. Пусть концентрические шары в Предположим, что и пусть ньютонов

потенциал с плотностью на Тогда и

т. е.

с постоянной

Доказательство. произвольной точки по формуле (4.9) имеем

В силу отсюда получаем

где

Далее, для произвольной другой точки мы снова имеем в силу (4.9).

Обозначая получаем

где интегралы задаются равенствами

Эти интегралы оцениваются следующим образом:

(кликните для просмотра скана)

Объединяя эти оценки, имеем

где постоянная зависит только от

Доказываемая оценка следует теперь из (4.12) и (4.13). Замечание, Если и 122 — такие области, что функция ньютонов потенциал с плотностью на 122, то справедлива оценка леммы 4.4, в которой заменены соответственно на т.е.

Из леммы 4.4 немедленно вытекают оценки Гёльдера решений уравнения Пуассона.

Теорема 4.5. Пусть функция и удовлетворяет в уравнению Пуассона с правой частью Тогда и и для любого шара содержащего носитель функции и, справедливы оценки

Доказательство. В силу представления (2.17)

так что оценки для следуют соответственно из лемм 4.1 и 4.4 и того факта, что функция имеет компактный носитель, лежащий в В. Оценка для получается одновременно с оценкой для

Освободиться от условия компактности носителя функции и, а это нужно для получения следующих внутренних оценок норм Гёльдера решений уравнения Пуассона, можно различными способами (см. также задачу 4.4),

Теорема 4.6. Пусть область в и пусть функция и удовлетворяет в уравнению Пуассона с правой частью Тогда и и для любых двух концентрических шаров имеет место оценка

с постоянной

Доказательство. В силу представления Грина (2.16) или в силу леммы 4.2 мы можем записать для что и где гармоническая в функция, ньютонов потенциал с плотностью Согласно теореме 2.10 и леммам 4.1 и 4.4 имеем

Последнее неравенство для очевидно при При записывая мы можем рассматривать и как решение

уравнения Пуассона в шаре пространства и это неравенство получается тем же способом. Требуемая оценка решения и получается комбинированием этих неравенств.

Непосредственным следствием внутренней оценки (4.16) является равностепенная непрерывность на компактных подмножествах вторых производных любого ограниченного семейства решений уравнения Пуассона Отсюда с помощью теоремы Арцела получается обобщение теоремы о компактности (теоремы на решения уравнения Пуассона.

Следствие 4.7. Любая ограниченная последовательность решений в области уравнения Пуассона с правой частью содержит подпоследовательность, сходящуюся равномерно на компактных подмножествах к решению того же уравнения.

Иногда предпочтительнее работать с другой (но эквивалентной) формой внутренней оценки (4.16), с оценкой в терминах внутренних норм, используемых далее. Для любое открытое подмножество будем писать Определим для функций классов С (12), и следующие величины, аналогичные глобальным полунормам и нормам и (4.6):

В этих обозначениях

Заметим, что величины и являются нормами подпространствах функций из соответственно, для которых эти величины конечны. Если множество ограничено и то, очевидно, эти внутренние нормы и глобальные нормы (4.6) связаны неравенствами

Если

Здесь удобно ввести норму

являющуюся частным случаем некоторых норм, которые будут определены далее.

Из теоремы 4.6 мы можем теперь для случая произвольных областей получить внутреннюю оценку, кото рая, как будет показано в гл. 6, в весьма похожем виде переносится на общие эллиптические уравнения.

Теорема 4.8. Пусть функция и удовлетворяет на открытом множестве пространства уравнению Пуассона с правой частью Тогда

где

Доказательство. Если одна из величин или бесконечна, то оценка (4.19) тривиальна. Если они конечны, то для мы имеем для каждой первой производной и каждой второй производной оценку

(в силу (4.16))

Для получения оценки возьмем точки считаем, что Тогда

Из полученных оценок следует (4.19).

Из доказанного утверждения следует существование оценок на компактных подмножествах для и оценок коэффициентов Гёльдера для через величины, оценивающие правую часть в (4.19). Такие оценки являются основой результатов о компактности семейств решений уравнения Пуассона. В частности, следствие 4.7 также немедленно вытекает из теоремы 4.8, если заметить, что из нее следует равностепенная непрерывность решений и их первых и вторых производных на компактных подмножествах.

С помощью результата о компактности, следствие 4.7, мы можем теперь получить теорему существования для уравнения Пуассона с неограниченной правой частью

Теорема 4.9. Пусть В - шар в такая функция из что с некоторым ( выполняется неравенство Тогда существует единственная функция и

удовлетворяющая уравнению в В и условию на При этом решение и удовлетворяет оценке

с зависящей только от 0 постоянной С

Доказательство. Оценка (4.21) следует из рассуждений, основанных на построении несложных барьеров. А именно, пусть и пусть Непосредственным вычислением получаем для

Предположим теперь, что Так как то по условию где Отсюда на Следовательно, в силу принципа максимума

т.е. справедлива оценка (4.21) с постоянной Наконец, чтобы показать существование решения, положим

и пусть такая последовательность концентрических шаров, исчерпывающих В, что в Обозначим через решение задачи на В силу (4.21)

так что последовательность равномерно ограничена и для вьшолняется равенство в Поэтому в силу следствия 4.7, последовательно примененного к последовательности шаров некоторая подпоследовательность последовательности сходится в В к функции и из удовлетворяющей уравнению в А Отсюда следует, что и поэтому на

Несложно построить пример, показывающий, что при теорема 4.9 неверна. Отметим, что эта теорема может быть доказана для более широкого класса областей, отличных от шаров (см. задачу 4.6). Более того, для произвольных областей с регулярными граничными точками классическая задача Дирихле для уравнения Пуассона разрешима для неограниченной правой части удовлетворяющей некоторым условиям интегрируемости (см. задачу 4.3).