5.6. Теорема о проекции

Два элемента х и у пространства со скалярным произведением называются ортогональными (или перпендикулярными), если Пусть подмножество пространства со скалярным произведением. Через будем обозначать множество элементов пространства, ортогональных всем элементам из Следующая теорема утверждает

существование ортогональной проекции любого элемента гильбертова пространства на замкнутое подпространство.

Теорема 5.6. Пусть замкнутое подпространство гильбертова пространства Тогда для любого имеет место представление

Доказательство. Если то положим Далее мы можем предполагать, что Определим

и пусть минимизирующая последовательность, т.е. такая последовательность, что при Используя равенство параллелограмма, получаем

Отсюда, так как следует, что при т. е. последовательность сходится (напомним, что полное пространство). Так как замкнуто, то

Представим теперь элемент х в виде где . Чтобы завершить доказательство, мы должны показать, что Для любых мы имеем , и поэтому

А так как то получаем, что для всех справедливо неравенство так что для всех , Следовательно,

Элемент у назьюается ортогоншчьной проекцией х на Теорема 5.6 также показывает, что любое отличное от замкнутое подпространство ортогонально некоторому (ненулевому) элементу пространства