8.3. Дифференцируемость слабых решений

Оставшаяся часть этой главы будет посвящена в основном изучению регулярности решений. В этом разделе мы рассмотрим вопрос о существовании слабых производных более высокого порядка у слабых решений уравнения (8.3). С помощью результатов о дифференцируемости, получаемых здесь, мы докажем теоремы существования решений для классической задачи Дирихле на основе теоремы 8.3. В последующих разделах мы изучим такие поточечные свойства слабых решений, как принцип максимума и непрерывность по Гёльдеру. Наш первый результат о

регулярности относится к выяснению условий, при которых слабые решения уравнения будут дважды слабо дифференцируемы.

Теорема 8.8. Пусть функция и является слабым решением уравнения оператор строго эллиптичен в его коэффициенты равномерно непрерывны в по Липшицу, а коэффициенты существенно ограничены в Пусть правая часть принадлежит Тогда для любой подобласти решение и приналежит и справедлива оценка

с постоянной где X - постоянная из условия (8.5),

Кроме того, функция и удовлетворяет уравнению

почти всюду в

Доказательство. Из интегрального тождества (8.4) мы имеем

где через обозначена функция

Для заменим функцию о ее разностным отношением некоторого 1 Получим

Так как

то

где Используя (8.20) и лемму 7 23, мы можем оценить

Далее, возьмем функцию , удовлетворяющую неравенствам и положим Используя неравенство Шварца и (8.5),

получаем

Отсюда в силу леммы 7.23 и с помощью неравенства Юнга (7.6) получаем, что

с постоянной . В качестве функции можно выбрать такую срезающую функцию, что на где . В силу леммы 7.24 получаем тогда, что для любой подобласти т. е. и и справедлива оценка (8.17). Наконец, мы имеем очевидно, всюду в в силу интегрального тождества (8.4).

Отметим (см. задачу 8.2), что в оценке (8.17) величина может быть заменена на

Следующий общий результат о существовании решения задачи Дирихле для эллиптического уравнения вида

может быть теперь получен из теорем 8.3 и 8.8.

Теорема 8.9. Пусть оператор строго эллиптичен в и имеет коэффициенты Тогда для любой функции и любой функции , существует единственная функция и такая, что

Если граница достаточно гладкая и если то теорема 8.9 остается справедливой и при условии непрерывности в коэффициентов (см. теорему 9.15). Однако для разрывных коэффициентов утверждение неверно: условие как показывает следующий пример, нельзя заменить более слабым условием: Уравнение

имеет при два решения , принадлежащие и совпадающие на В - единичный шар

Дифференцируемость более высокого порядка слабых решений может быть легко установлена такими же рассуждениями, как и при доказательстве теоремы 8.8. Наложим более жесткие ограничения на гладкость коэффициентов

и пусгь Тогда, заменяя и для некоторого к, 1 в тождестве (8.19) и применяя интегрирование по частям, получаем

а так как то Следовательно, . С помощью индукции доказывается следующее обобщение теоремы 8.8. Теорема 8.10. Пусть функция и слабое решение уравнения оператор строго эллиптичен в коэффициенты принадлежат коэффициенты принадлежат , а функция принадлежит Тогда для любой подобласти решение и принадлежит и справедлива оценка

с постоянной где

По теореме вложения Соболева (следствие 7.11) из теоремы 8.10 вытекает следующее утверждение.

Следствие 8.11. Пусть функция и является слабым решением строго эллиптического уравнения и пусть функции принадлежат Тогда функция и также принадлежит