6.5. Другой метод

Анализ доказательства теоремы 6.13 показывает, что эта теорема существования устанавливается с помощью процесса Перрона из утверждения о разрешимости задачи Дирихле в шарах при произвольных непрерывных граничных значениях. Доказательство последнего результата

(содержащегося в лемме 6.10) существенно опирается на граничные оценки шаудеровской теории. Однако, как мы увидим позже, возможно такое построение теории разрешимости задачи Дирихле с непрерывными граничными значениями, которое использует только внутренние оценки Шаудера и никак не использует граничные оценки.

В этом разделе изложение будет основываться на следующем обобщении внутренних оценок теоремы 6.2. В их формулировках мы будем использовать полунормы и нормы, определенные в (6.10).

Лемма 6.20. Пусть функция и удовлетворяет уравнению на открытом множестве пространства , а коэффициенты оператора удовлетворяют условиям (6.12) и (6.13). Предположим, что для некоторого . Тогда справедлива оценка

с постоянной .

Доказательство. Пусть произвольная точка области расстояние от точки х до Тогда в силу неравенства (6.14), примененного к шару имеем

Следовательно,

Для оценки возьмем две различные точки х и у из такие, что и пусть, как и выше, Рассматривая два случая для любой второй производной имеем

Беря точную верхнюю грань по и применяя (6.51), получаем

Объединяя это неравенство с неравенством (6.51), мы приходим к требуемой оценке (6.50).

Отметим, что при полученный результат дает оценку (6.14). При требование конечности величины приводит очевидно к условию на

В этом разделе мы будем строить решение задачи Дирихле для уравнения в шаре, используя метод непрерывного продолжения по

параметру. Для этого потребуется априорная оценка решений в случае неограниченной правой части. Аналогичный результат для уравнения Пуассона содержится в теореме 4.9.

Лемма 6.21. Пусть в шаре оператор строго эллиптичен (удовлетворяет (6.2)), его коэффициенты ограничены величиной А, а коэффициент Предположим, что функция и из является решением в В уравнения и равна нулю на Тогда для любого справедливо неравенство

с постоянной .

Доказательство. Пусть число зафиксировано. Предположим, что Требуемая оценка (6.52) может быть получена с помошью осуществляющей оценку и функции сравнения. Для простоты считаем, что и положим Тогда

Ясно, что для некоторого при выражение в квадратных скобках будет положительным. Поэтому

где положительные постоянные, зависящие только от (при второе неравенство, разумеется, излишне).

Пусть теперь где Как и в теореме 3.7, получаем, что в выполнено неравенство и поэтому

где По предположению Тогда

где положительные постоянные. Полагая видим, что на в точке на на Из принципа максимума (следствие 3.2) получаем

Рассмотрим теперь произвольную точку Без ограничения общности можно считать, что точка х лежит на оси Тогда из (6-53) следует

неравенство с некоторой постоянной

Полученный результат может быть обобщен на случай более общих областей, например на области класса (см. задачу 6.5).

С помощью результатов двух последних лемм мы можем теперь доказать обобщение теоремы 4.9 на уравнения Подчеркнем, что проводимое доказательство не использует граничных оценок.

Теорема 6.22. Пусть В - шар в а функция такова, что некоторого . Пусть оператор строго эллиптичен в В, его коэффициенты удовлетворяют условиям (6.2) и (6.31) и Тогда существует (единственное) решение и задачи Дирихле на Кроме того, следовательно, функция и удовлетворяет в В неравенству (6.50).

Доказательство. Доказательство основано на методе продолжения по параметру. Как и в теореме 6.8, рассмотрим семейство уравнений

и заметим, что коэффициенты оператора также удовлетворяют (6.2) и (6.31) в В с постоянными заменяющими соответственно. В силу (6.11) имеем

и следовательно, для каждого оператор является линейным ограниченным оператором из банахова пространства в банахово пространство Однозначная разрешимость задачи Дирихле для эквивалентна тому, что отображение и является отображением и обратимо.

Пусть решение этой задачи для некоторого Из (6.52) тогда имеем оценку из (6.50) следует, что или, что эквивалентно, , где постоянная С не зависит от . В силу теоремы 4.9 оператор отображает на все Следовательно, можно применить метод непрерывного продолжения по параметру (теорема 5.2), откуда и следует требуемое утверждение.

Полученная теорема может быть обобщена на случай произвольных непрерывных граничных значений.

Следствие 6.23. При выполнении условий теоремы 6.22 задача Дирихле на для любой , имеет (единственное) решение и

Доказательство. Пусть последовательность функций из равномерно сходящаяся к . В силу теоремы 6.22 задача Дирихле на однозначно разрешима для каждого к и определяет решение задачи на с неоднородными краевыми условиями. Обычным способом из принципа максимума получаем, что последовательность равномерно на

сходится к функции такой, что на Из компактности, следующей из внутренних оценок (следствие 6.3), вытекает, что в В и, следовательно, функция и является искомым решением.

Опираясь на эту теорему существования для шаров, мы можем, как и ранее, осуществить процесс Перрона в более общих областях и получить, в частности теорему 6.13.