Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 6.5. Другой методАнализ доказательства теоремы 6.13 показывает, что эта теорема существования устанавливается с помощью процесса Перрона из утверждения о разрешимости задачи Дирихле в шарах при произвольных непрерывных граничных значениях. Доказательство последнего результата (содержащегося в лемме 6.10) существенно опирается на граничные оценки шаудеровской теории. Однако, как мы увидим позже, возможно такое построение теории разрешимости задачи Дирихле с непрерывными граничными значениями, которое использует только внутренние оценки Шаудера и никак не использует граничные оценки. В этом разделе изложение будет основываться на следующем обобщении внутренних оценок теоремы 6.2. В их формулировках мы будем использовать полунормы и нормы, определенные в (6.10). Лемма 6.20. Пусть функция и
с постоянной Доказательство. Пусть
Следовательно,
Для оценки
Беря точную верхнюю грань по
Объединяя это неравенство с неравенством (6.51), мы приходим к требуемой оценке (6.50). Отметим, что при В этом разделе мы будем строить решение задачи Дирихле для уравнения параметру. Для этого потребуется априорная оценка решений в случае неограниченной правой части. Аналогичный результат для уравнения Пуассона содержится в теореме 4.9. Лемма 6.21. Пусть в шаре
с постоянной Доказательство. Пусть число
Ясно, что для некоторого
где Пусть теперь
где
где
Рассмотрим теперь произвольную точку неравенство Полученный результат может быть обобщен на случай более общих областей, например на области класса С помощью результатов двух последних лемм мы можем теперь доказать обобщение теоремы 4.9 на уравнения Теорема 6.22. Пусть В - шар в Доказательство. Доказательство основано на методе продолжения по параметру. Как и в теореме 6.8, рассмотрим семейство уравнений
и заметим, что коэффициенты оператора
и следовательно, для каждого Пусть Полученная теорема может быть обобщена на случай произвольных непрерывных граничных значений. Следствие 6.23. При выполнении условий теоремы 6.22 задача Дирихле Доказательство. Пусть сходится к функции Опираясь на эту теорему существования для шаров, мы можем, как и ранее, осуществить процесс Перрона в более общих областях и получить, в частности теорему 6.13.
|
1 |
Оглавление
|