Задачи типа II. Равновесие системы сходящихся сил, не лежащих в одной плоскости (задачи 212, 213, 215, 217)

В настоящем параграфе рассмотрим равновесие тела, к которому приложена система сходящихся сил, не лежащих в одной плоскости.

В общем случае задачи, относящиеся к равновесию неплоской системы сходящихся сил, проще решать аналитическим способом при помощи трех уравнений равновесия.

При этом необходимо обратить внимание на нахождение проекций сил на координатные оси.

Следует иметь в виду, что если имеем систему четырех уравновешенных сил, не лежащих в одной плоскости, то задачу часто можно решить проще, заменив две заданные силы их равнодействующей, так как три уравновешенные силы всегда лежат в одной плоскости, то задачу о равновесии четырех сходящихся сил, не лежащих в одной плоскости, можно свести, таким образом, к задаче о равновесии плоской системы трех сил, решение которой рассмотрено в предыдущем параграфе.

Рис. 27.

Пример 11. Груз весом поддерживается при помощи каната, перекинутого через блок О и идущего к лебедке Е. Определить усилия в стержнях АО, ОВ, ОС крана, если плоскость ОАВ горизонтальна, AD=DB, . (рис. 27).

Решение. Рассмотрим равновесие шарнирного болта О, к которому стержней и силы натяжения каната и . Так как натяжение каната во всех его точках одинаково, то .

Так как стержни закреплены шарнирно и их весом мы пренебрегаем, то реакции стержней направлены вдоль этих стержней. Допустим, что стержни растянуты, т. е. реакции направлены от узла О.

Силы не лежат в одной плоскости.

Составим три уравнения равновесия этих сил, для чего выберем сначала систему координатных осей , у z так, чтобы силы лежали в координатных плоскостях; ось направим перпендикулярно к плоскости АОВ; начало координат выберем в точке D, а оси х и у направим соответственно по прямым АВ и OD. Тогда силы будут расположены в плоскости , а силы — в вертикальной плоскости . При выборе координатных осей легко определить углы каждой силы с координатными осями, а следовательно, и ее проекции на эти оси. Так как силы и лежат в плоскости , то . Найдем углы, составляемые этими силами с осями х и у. По условию задачи , а потому треугольник АОВ равнобедренный; кроме того, — 90°. Следовательно, прямая OD есть биссектриса угла АОВ и 45°.

Теперь находим проекции сил и на координатные оси .

Проекции , очевидно, отрицательны, так как силы и образуют острые углы с отрицательным направлением оси , а сила образует острый угол и с отрицательным направлением оси :

Силы лежат в плоскости , а потому они перпендикулярны к оси и, следовательно,

Сила параллельна оси , а потому . Углы между силой и осями у и z заданы по условию задачи, а потому находим:

Остается найти углы силы с осями у и z. Для этого рассмотрим треугольник ОСЕ. Угол — внешний угол этого треугольника, а потому он равен сумме углов СОЕ и CEO, т. е. 60° , откуда 30°. Из прямоугольного треугольника ODE находим, что 60°. Таким образом, образует острый угол в 30° с отрицательным направлением оси z и острый угол в 60° с отрицательным направлением оси у, а потому

Указанные значения проекций можно расположить в виде табл. 2.

Составим теперь три уравнения равновесия, для чего достаточно приравнять нулю сумму проекций всех сил на каждую координатную ось:

Таблица 2

или

Решая эту систему трех уравнений относительно неизвестных , получим:

или

и

или

Так как мы получили отрицательное значение для силы , то выбранное нами направление этой силы нужно изменить на противоположное; следовательно, стержень СО не растянут, как мы предполагали, а сжат.

Рис 28.

Пример 12. Невесомые стержни АС, АВ и AD соединены шарнирно между тобой в точке Лис неподвижными опорами в точках С, D и В. К узлу А приложена сила , составляющая с координатными осями х и у углы 60°. Определить реакции стержней АС, АВ и AD, если 45° (рис. 28).

Решение. Рассмотрим равновесие узла А, к которому приложены заданная сила F и реакции , стержней AC, АВ и AD, направленные вдоль этих стержней. Допустим, что эти реакции направлены от узла А. Так как линии действия сил , пересекаются в одной точке А, то имеем четыре уравновешенные сходящиеся силы, не лежащие в одной плоскости, а потому вычислим проекции этих сил на выбранные координатные оси и составим три уравнения равновесия.

Силы и параллельны соответственно осям х и у, а потому . Так как углы между силой F и положительными направлениями осей х и у заданы, то .

Угол между силой F и осью мы найдем из соотношения , откуда .

Так как сила F составляет острый угол с отрицательным направлением оси , то . Угол между силой и положительным направлением оси задан, а потому . Углы между силой и осями и у не заданы и их нельзя определить непосредственно из чертежа, а потому спроектируем эту силу на плоскость и полученную проекцию, которую обозначим через , спроектируем затем на оси х и у. Тогда . Приравнивая нулю сумму проекций всех сил на оси , получим следующие три уравнення равновесия:

Из третьего уравнения находим: .

Из первых двух уравнений имеем:

Так как мы получили отрицательные значения для сил и то выбранные нами направления для этих сил следует изменить на противоположные; следовательно, стержни АВ и АС сжаты, а стержень AD растянут, так как реакция этого стержня, как мы и предполагали, направлена от узла А.