Вторая группа

В задачах второй группы известны ускорение точки А и криволинейная траектория точки В, ускорение которой требуется найти. Поэтому известны радиус кривизны q траектории и направления векторов (по касательной к траектории) и (по нормали траектории), причем

Если принять точку А за полюс, то по формуле (78) получим:

следовательно,

Определив угловую скорость фигуры со и скорость , найдем ускорения:

Теперь в векторном равенстве (а) остаются неизвестными только модули ускорений . На основании этого векторного равенства следует построить две ломаные линии:

1) сторонами одной из них являются векторы

2) сторонами второй ломаной линии являются векторы этих построенных многоугольников графически определяются неизвестные ускорения . Задача может быть решена также методом проекций. Для определения ускорения достаточно спроектировать векторное равенство (а) на прямую АВ, после чего ускорение точки В находим по формуле

Пример 80. В механизме, изображенном на рис. 110, а, кривошип см вращается с постоянной угловой скоростью в плоскости рисунка вокруг неподвижной точки 0 и при помощи стержня А В приводит в движение кривошип ВС, вращающийся в той же плоскости вокруг неподвижной точки С.

Определить скорость и ускорение точки В в тот момент, когда кривошип О А горизонтален, , если .

Решение. Найдем сначала скорость и ускорение точки А звена ОА, движение которого задано. Вектор перпендикулярен к ОА и по модулю равен

Так как кривошип ОА вращается равномерно, то ускорение направлено вдоль АО, причем

Рис. 110.

Так как точка В принадлежит звену ВС, вращающемуся вокруг неподвижной точки С, то траекторией точки В является дуга окружности с центром в точке С и радиусом СВ. Поэтому векторы направлены по одной прямой, перпендикулярной к ВС, а вектор направлен вдоль ВС и по модулю равен . Кроме того,

С другой стороны, точка принадлежит звену ВС, движущемуся в плоскости рисунка; принимая в этом движении точку А за полюс, по формулам (75) и (78) имеем:

где векторы направлены по одной прямой, перпендикулярной к АВ, а вектор направлен вдоль ВА, причем . До того как переходить к определению ускорений, следует найти скорости ; для этого построим, согласно равенству (б), треугольник скоростей В. Тогда

причем

Отсюда

Следовательно,

и

Теперь переходим к определению искомого ускорения . Для этого построим многоугольники ускорений по формулам (а) и (в), начиная построение с известных векторов . Из точки о проводим вектор , из точки — вектор , а из точки — прямую , параллельную вектору , т. е. перпендикулярную к . Далее, из точки о проведем вектор , а из точки , — прямую , параллельную вектору , т. е. перпендикулярную к . Точку пересечения прямых обозначим через , тогда . Измерив выбранной единицей масштаба длины сторон , найдем модули ускорений .

Так как все углы в многоугольниках ускорений известны (см. рис. 110,б), а неизвестными остаются только модули двух сторон, то эти стороны можно вычислить по формулам тригонометрии.

Так как , то , и прямая проходит через точку о, т. е. многоугольник ускорений превращается в два треугольника: , в которых 60°. Из этих прямоугольных треугольников имеем:

откуда

Как было указано выше, численные значения векторов можно найти методом проекций: проектируя векторное равенство на прямые ВА и ВС, получим:

Отсюда