Задачи типа IV. Равновесие системы некомпланарных сил в общем случае

В задачах этого типа, так же как и в задачах типа III, имеем шесть уравнений равновесия. Кроме связей, рассмотренных в задачах предыдущего типа, здесь находят применение сферические подшипники и опоры в виде стержней, имеющих на концах сферические шарниры (рис. 73, д).

Задачи этого типа в зависимости от характера связей, наложенных на данное тело, можно подразделить на три группы.

Первая группа. Задачи о равновесии тела, имеющего неподвижную ось вращения (задачи 270, 271, 273, 274)

Пример 42. Груз Q поднимается равномерно при помощи лебедки (рис. 76). Струна каната в точке Е набегания каната на барабан составляет с образующей барабана угол 90° — ; плоскость, проходящая через ось барабана и точку Е, наклонена к горизонту под углом , причем расстояние от точки Е до плоскости симметрии зубчатого колеса лебедки равно с; радиусы барабана и зубчатого колеса лебедки соответственно равны и , остальные размеры указаны на рисунке.

Определить модуль движущего усилия , приложенного в точке D и образующего с касательной к начальной окружности колеса угол , а также реакции подшипников А и В, если силы сопротивления движению, возникающие в подшипниках, приводятся к одной паре с моментом . Вес ворота равен G и центр тяжести его находится посредине между опорами А и В (рис. 76).

Рис. 76.

Решение. Рассмотрим равновесие барабана лебедки вместе с колесом, которые совместно с валом АВ составляют одно твердое тело. Показываем на рисунке силы, действующие на это тело: силу , приводящую ворот в движение, и силу F натяжения каната, которая равна весу груза Q, если пренебречь потерями в блоке (на трение в подшипниках и на изгиб каната), т. е. . Так как ворот, если смотреть от А к В, вращается по часовой стрелке, то пара, препятствующая этому движению, направлена против часовой стрелки и, следовательно, момент этой пары изобразится в виде вектора , направленного по оси ворота, как указано на рисунке. Вертикальную силу веса G ворота на рисунке не показываем, чтобы излишне не загромождать рисунок. Точку А принимаем за начало координат и координатные оси располагаем, как указано на рисунке, принимая ось вала за ось у и направляя ось по вертикали вверх. Обращаем внимание на конструкции подшипников А и В. Так как эти подшипники фиксируют вал лебедки в осевом направлении, то в них, кроме перпендикулярных к оси вала реакций, могут возникать также продольные реакции, направленные вдоль оси вращения. Очевидно, продольная реакция возникает в том подшипнике, который воспринимает давление, направленное вдоль оси вращения и вызываемое действием приложенных к телу заданных сил.

В рассматриваемом случае осевое давление принимает подшипник А. Поэтому реакция подшипника А состоит из трех компонентов:

Реакция подшипника В состоит из двух компонентов:

Разложив силу F натяжения каната на две составляющие , направленные вдоль образующей барабана и перпендикулярно к ней, имеем:

После этого легко найти проекции силы F, приложенной , на выбранные координатные оси:

Находим координаты точки Е:

Далее находим проекции силы и координаты точки ее приложения:

Обозначая через С центр тяжести ворота, имеем:

где .

Моменты всех действующих сил относительно координатных осей вычислим по формулам (29):

Составляем уравнения равновесия рассматриваемой системы сил:

Из второго и пятого уравнений находим и :

Подставив найденное значение силы в оставшиеся уравнения, определяем из них остальные неизвестные реакции.

Из шестого уравнения:

Из четвертого уравнения:

После этого из первого и третьего уравнений находим: