Задачи типа II

К задачам типа II, как было указано выше, относятся такие задачи, в которых сумма моментов всех внешних сил, действующих на систему относительно данной неподвижной оси, например оси z, равна нулю. В этом случае (см. равенство 216) имеем

Следовательно, если обозначим момент системы относительно оси z в начальный момент при то в рассматриваемом случае имеем

Если в начальный момент система неподвижна, то начальные скорости всех ее точек равны нулю, следовательно, , и в этом случае

При решении задач второго типа нужно составить уравнение (222) или уравнение (222) и определить из него ту величину, которую требуется найти в данной задаче.

Рис. 197.

Пример 160. На поверхности круглого однородного цилиндра радиусом и массы М, который может вращаться без трения вокруг неподвижной вертикальной оси z, имеется нал в форме винтовой линии; в этом канале находится шарнк (материальная точка) массой . В некоторый момент, когда система не подвижна, шарик начинает двигаться по винто вой линии под действием силы тяжести, а линдр начинает при этом вращаться вокруг оси z в противоположном направлении. На какой угол повернется цилиндр за то время, в течение которого шарик опустится на расстояние, равное шагу h винтовой линии (рис. 197).

Решение. Внешними силами для данной системы, состоящей из цилиндра и шарика, являются их веса и реакции закрепленных точек, через которые проходит ось вращения цилиндра .

Так как моменты этих сил относительно оси z равны нулю и в начальный момент система неподвижна, то применяется уравнение (222), т. е. , где - кинетический момент данной системы относительно оси z. Этим уравнением и воспользуемся для решения задачи.

Кинетический момент вращающегося цилиндра относительно оси вращения z равен , где — угловая скорость цилиндра (знак минус берем потому, что цилиндр вращается по часовой стрелке, если смотреть с положительного конца оси z).

Если относительную скорость шарика, направленную по касательной к винтовой линии, обозначим . а постоянный угол скорости с осью z — через , то горизонтальная составляющая относительной скорости, направленная по касательной к цилиндру, по модулю будет равна . Переносная скорость шарика (скорость во вращательном движении вокруг оси z) направлена противоположно горизонтальной составляющей относительной скорости и по модулю равна . Поэтому горизонтальная составляющая абсолютной скорости шарика равна

а момент количества движения шарика относительно оси z равен

следовательно,

так

или

Если угол поворота цилиндра обозначим , то

проекция абсолютной скорости шарика на ось z, очевидно, равна , а потому

и

Следовательно уравнение (а) принимает вид

или

Интегрируя это уравнение и принимая во внимание, что в начальный момент , получим

Полагая по условию задачи , находим искомый угол поворота цилиндра

Так как между углом наклона у винтовой линии и ее шагом h имеется зависимость , то .

Если, например, , то цилиндр повернется на 90°.