Вторая группа. Задачи, где имеются связи, направление реакций которых неизвестно (задачи 36—41, 43)

Пример 10. Жесткая рама закреплена в точке А при помощи неподвижного цилиндрического шарнира, а в точке В опирается катками на гладкую наклонную плоскость, составляющую с горизонтом угол . На горизонтальном участке CD рама находится под действием равномерно распределенной вертикальной нагрузки интенсивности . Определить реакции опор в точках А и В, если (рис. 25).

Решение. Найдем сначала равнодействующую Q системы параллельных сил, приложенных к раме на участке CD, которая равна сумме слагаемых сил, т. е. , и приложена в середине отрезка CD. Реакцию опоры В обозначим через . Она направлена перпендикулярно к опорной плоскости катков. Реакция неподвижного шарнира приложена к раме в точке А, но направление ее неизвестно. Для определения линии действия силы воспользуемся теоремой о трех уравновешенных непараллельных силах. Так как рама находится в равновесии под действием трех сил и , то линии действия этих сил пересекаются в одной точке.

Рис.

Рис.

Продолжив линии действия сил и , найдем точку Е, Через которую должна проходить сила , приложенная в точке А. Следовательно, прямая АЕ является линией действия силы .

Теперь задача может быть решена двумя способами: геометрическим (построением замкнутого силового треугольника) и аналитическим (методом проекций). Построим замкнутый треугольник сил и , в котором , а стороны соответственно параллельны прямым BE и АЕ. Тогда (рис. 26). Далее определим углы в построенном силовом треугольнике: . Из прямоугольного треугольника КЕВ находим:

а потому . Отсюда . В треугольнике абс проведем прямую , перпендикулярную к , тогда , а потому

Рассмотрим теперь аналитический способ решения. Начало координат выберем в точке О, ось у направим по прямой ОЕ, а ось х — по прямой АО. Проектируя силы и на оси х и у, получим следующие два уравнения равновесия:

Из первого уравнения находим

Тогда из второго уравнения имеем

Отсюда

В заключение можно сделать следующие выводы:

1. Если линии действия всех реакций связей, наложенных на данное тело, равновесие которого рассматривается в задаче, известны, то при геометрическом способе решения задачи нужно построить замкнутый силовой многоугольник, начав построение его с известных сил. Число неизвестных сил не должно быть больше двух. В случае, когда число всех приложенных к данному телу сил, включая и реакции связей, равно трем, задача сводится к построению силового треугольника по заданной стороне и заданным направлениям двух других его сторон.

После того как построен замкнутый силовой многоугольник, две неизвестные силы можно Ьпределить либо непосредственным измерением, либо вычислением.

При тригонометрическом решении силового треугольника обычно применяется теорема синусов.

Однако иногда бывает удобнее вместо теоремы синусов применить метод подобия, т. е., исходя из условия задачи, найти такой треугольник с известными сторонами, который был бы подобен силовому треугольнику. Тогда легко определить неизвестные стороны силовоготреугольника из условия пропорциональности соответственных сторон подобных треугольников.

2. При аналитическом способе решения нужно выбрать систему координатных осей, найти углы, образуемые каждой силой с этими осями, и определить проекции каждой силы на координатные оси; затем нужно составить два уравнения равновесия, приравнивая нулю сумму проекций всех сил на каждую из координатных осей, и решить эти уравнения.

Если в результате решения этих уравнений значение какой-либо неизвестной силы получилось отрицательным, то это значит, что эта сила имеет направление, противоположное тому, которое мы выбрали для нее при составлении уравнений равновесия. Следует иметь в виду, что если число всех сил, приложенных к данному телу, больше трех, то вычисление величины искомых в задаче сил тригонометрическим способом становится обычно громоздким. В этом случае предпочтительней аналитический способ решения.

3. Когда линия действия какой-либо реакции неизвестна, как, например, в случае неподвижного цилиндрического шарнира или подпятника, а число сил, приложенных к данному телу, равно трем, то, применяя теорему о пересечении в одной точке трех непараллельных уравновешенных сил, можно найти точку, через которую приходит эта неизвестная реакция. Так как точка приложения неизвестной реакции задана, то тем самым определяется ее линия действия. Далее задача решается или геометрическим, или аналитическим способом, как это было указано в рассмотренных выше примерах.