Задачи типа III

Задачи этого типа, в которых рассматривается движение несвободной материальной точки, можно разделить на две группы.

Первая группа

Задачи, в которых рассматривается движение несвободной точки по заданной неподвижной линии.

Рис. 147.

Рис. 148.

В этом случае, поскольку траектория точки известна, проще воспользоваться дифференциальными уравнениями движения точки в естественной форме (112); при этом необходимо учесть реакции связей, т. е. нормальную реакцию и силу трения (если трение учитывается).

Пример 112. Известно, что на прямолинейном участке железнодорожного пути с углом наклона а вагон, получив некоторую начальную скорость вниз по уклону, движется затем равномерно.

Считая сопротивление движению пропорциональным нормальному давлению колес на рельсы, определить закон движения этого вагона, если он будет двигаться вниз без начальной скорости по прямолинейному участку пути с углом наклона (рис. 147 и 148).

Решение. Вагон движется поступательно под действием неса Р, нормальной реакции N и силы сопротивления F, которая направлена по наклонной плоскости вверх, противоположно движению вагона.

Сначала рассмотрим равномерное движение вагона по пути с углом наклона .

Согласно уравнениям (ПО), имеем:

Так как вагон движется прямолинейно и равномерно, то поэтому .

Согласно условию,

где - коэффициент сопротивления. Следовательно,

откуда

Теперь рассмотрим второй случай, когда вагон движется по участку пути с углом наклона .

Аналогично предыдущему на основании уравнений (110) имеем (см. рис. 148):

Так как ускорение w вагона параллельно оси (рис. 148), то , поэтому , следовательно, , или, подставляя значение f и сокращая на , получим:

или

Следовательно, вагон движется с постоянным ускорением . Поэтому по формуле для пройденного пути при равномерно ускоренном движении без начальной скорости имеем:

Это и есть искомый закон движения вагона.

Пример 113. Материальная точка весом , лежащая на горизонтальной поверхности стола, привязана к неподвижной точке О нитью длиной . Точке сообщена начальная скорость , перпендикулярная к направлению натянутой нити, вследствие чего точка описывает на столе окружность (рис. 149).

Найти скорость точки и силу натяжения нити через 1 сек после начала движения, если коэффициент трения .

Решение. К данной материальной точке приложены силы: вес , нормальная реакция стола N, сила трения и натяжение .

Рис. 149.

Составляем уравнения движения точки в фюрме Эйлера (в проекциях на касательную, нормаль и бинормаль):

Из последнего уравнения следовательно, , откуда . Так как , при , то поэтому . При и при числовых данных задачи имеем: .

Из второго уравнения Эйлера, учитывая, что , находим натяжение нити в момент сек:

Вторая группа

Ко второй группе относятся задачи, в которых рассматривается криволинейное движение точки по данной неподвижной поверхности.

В этих задачах следует составлять дифференциальные уравнения движения точки в координатной форме, учитывая при этом, кроме равнодействующей F заданных сил, приложенных к движущейся точке, нормальную реакцию N поверхности и силу трения . Поэтому дифференциальные уравнения движения точки имеют вид:

Если к этим уравнениям присоединить уравнение Кулона

где f — коэффициент трения, и уравнение связи (т. е. уравнение поверхности , по которой перемещается точка, то получим систему пяти уравнений, из которых можно определить все пять искомых величин: .

Если трение отсутствует, то последние члены в правых частях уравнений (124) исчезают.

Пример 114. Материальная точка М. движется по гладкой наклонной плоскости с углом наклона а под действием собственного веса ее начальная горизонтальная скорость перпендикулярна к линии наибольшего ската этой плоскости. Определить , движение этой точки и ее траекторию, а также реакцию наклонной плоскости (рис. 150).

Рис. 150.

Решение. Начало координат выберем в начальном положении материальной точки, а оси х и у — лежащими в наклонной плоскости, причем ось х — горизонтальна, а ось у — параллельна линии наибольшего ската; ось z направим по нормали к наклонной плоскости. Так как на точку М действуют сила тяжести , направленная по вертикали вниз, и реакция наклонной плоскости N, перпендикулярная к этой плоскости, то дифференциальные уравнения движения точки запишутся так:

Так как точка М движется в плоскости , то получим (уравнение связи) и, следовательно, поэтому , откуда .

Остается проинтегрировать первые два уравнения, которые перепишем в виде:

Интегрируя эти уравнения, получим:

Но

а поэтому

Отсюда, интегрируя и принимая во внимание, что находим:

Эти уравнения определяют движение точки М по наклонной плоскости.

Исключая отсюда параметр t, находим траекторию этой точки:

Это — парабола, расположенная под осью .

Посмотрим теперь, как изменится решение этой задачи, если учесть силу трения между материальной точкой и наклонной плоскостью, равную

где - коэффициент трения.

Третье дифференциальное уравнение движения точки М (относящееся к оси z) остается, очевидно, без изменения; поэтому и, следовательно, . Так как сила трения направлена противоположно скорости v, то

Отсюда

Следовательно, дифференциальные уравнения движения точки М в плоскости после сокращения на m имеют вид:

Интегрирование этих дифференциальных уравнений можно выполнить, пользуясь приближенными методами.

Пример 115. Тяжелая материальная частица массы движется по внутренней поверхности шероховатого круглого цилиндра .

Коэффициент трения между частицей и цилиндром равен k. В начальный момент частица находится на оси и получает скорость , перпендикулярную к оси и составляющую с плоскостью угол . Составить дифференциальные уравнения движения частицы и определить ее давление на связь. Проинтегрировать полученные уравнения в случае гладкой поверхности (рис. 151).

Рис. 151.

Решение. Частица М(х, у, z) движется под действием трех сил: веса , направленного по вертикали вниз, нормальной реакции N цилиндра, направленной по внутренней нормали к его поверхности, и силы трения , направленной противоположно вектору скорости . Найдем проекции этих сил на каждую из трех координатных осей:

где — угол, образуемый с осью проекцией радиуса-вектора точки М на плоскость .

Далее имеем:

где — единичный вектор скорости.

Отсюда

Следовательно, уравнения (124) принимают вид:

Присоединяя к этим уравнениям уравнение связи

мы получили систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными х, у, z и N. Продифференцируем дважды уравнение связи:

Умножим первое из уравнений (а) на х, второе — на у и сложим их почленно:

Учитывая соотношения (в) и (г), получим:

или

Подставляя найденное значение N в уравнения (а), получим систему нелинейных дифференциальных уравнений, содержащих координаты х, у и z, а также первые и вторые производные от этих координат по времени.

Так как решение этой системы дифференциальных уравнений представляет собой сложную математическую задачу, то рассмотрим частный случай, когда поверхность цилиндра гладкая.

Тогда система (а) принимает вид:

Чтобы исключить из первых двух уравнений силу N, поделим почленно первое уравнение на второе;

Тогда имеем:

откуда

Но

а поэтому

Так как

то

Следовательно,

Постоянную С, находим из начальных условий движения:

Отсюда

или

Таким образом

Интегрируя третье уравнение системы (а) и определяя произвольную постоянную интегрирования, получим:

Подставляя найденные значения и в равенство (е), имеем:

Таблица 15. Классификация задач