§ 4. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА И РОДА (ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ В ОБОБЩЕННЫХ КООРДИНАТАХ)
Обобщенными координатами механической системы называются независимые друг от друга параметры, при помощи которых можно определить в каждый данный момент положение этой системы и через которые, следовательно, можно выразить декартовы координаты всех ее точек.
Таким образом, если обозначим k обобщенных координат 
, то декартовы координаты каждой материальной точки 
системы можно выразить как функции параметров 
и времени t, т. е.
Если связи, наложенные на систему, являются стационарными, то время t в правые части этих уравнений не войдет. Число k независимых обобщенных координат равно числу степеней свободы данной системы.
В соответствии с числом независимых 
координат, т. е. с числом степеней свободы данной механической системы, имеем для нее k уравнений Лагранжа II рода:
где кинетическая энергия системы 
— так называемые обобщенны силы, которые определяются формулами
Производные 
от обобщенных координат по времени называются обобщенными скоростями.
Уравнения Лагранжа II рода представляют собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно неизвестных функций 
.
Для того чтобы составить эти уравнения, кинетическую энергию Т системы необходимо выразить через обобщенные координаты и обобщенные скорости. Обобщенные силы можно вычислять одним из следующих способов:
а) непосредственно по формулам (247),
б) чтобы найти обобщенную силу соответствующую обобщенной координате 
нужно данной механической системе сообщить такое возможное перемещение, при котором изменяется только одна координата 
, а все остальные обобщенные координаты остаются неизменными; затем составить сумму элементарных работ 
всех заданных сил на этом перемещении и разделить эту сумму на вариацию 
т. е.
в) в частном случае если система находится под действием сил, имеющих потенциал, то обобщенные силы определяются по формулам:
(249)
где U — силовая функция, П — потенциальная энергия системы, т. е. обобщенная сила равна частной производной от силовой функции или взятой с обратным знаком частной производной от потенциальной энергии системы по соответствующей обобщенной координате.
При вычислении обобщенных сил по формулам (249) необходимо предварительно силовую функцию или потенциальную энергию системы выразить через обобщенные координаты этой системы.
Интегрируя систему уравнений Лагранжа, находим обобщенные координаты 
как функции времени t и 
произвольных постоянных 
определяемых начальными условиями движения системы.
Задачи на применение уравнений Лагранжа в большинстве случаев можно отнести к одному из следующих типов:
I. Задачи, в которых требуется только составить дифференциальные уравнения движения системы.
II. Задачи, в которых требуется определить ускорения (линейные или угловые).
III. Задачи, относящиеся к малым колебаниям системы. Задачи каждого из этих типов можно разделить на две группы в зависимости от того, рассматривается ли в данной задаче система с одной степенью свободы или с числом степеней свободы, большим единицы.
