§ 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТЕЙ ТОЧЕК ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ, ДВИЖУЩЕЙСЯ В СВОЕЙ ПЛОСКОСТИ

(задачи 501-538)

Движение плоской фигуры в ее плоскости можно разложить на два движения:

1) поступательное движение со скоростью, равной скорости какой-либо точки А тела, принятой за полюс, и

2) вращательное движение вокруг этого полюса (вокруг оси, проходящей через полюс и перпендикулярной к плоскости движущейся фигуры). При этом угловая скорость вращательного движения не зависит от выбора полюса. Отсюда следует, что скорость любой точки В плоской фигуры равна геометрической сумме двух скоростей: скорости полюса и скорости точки В во вращательном движении вокруг полюса, т. е.

причем .

Отсюда следует теорема о проекциях скоростей точек плоской фигуры: проекции скоростей двух точек плоской фигуры на прямую, соединяющую эти точки, равны между собой.

Мгновенным центром скоростей (МЦС) называется такая точка плоской фигуры, скорость которой в данный момент равна нулю.

Если известны скорость какой-либо точки А плоской фигуры и угловая скорость этой фигуры, то, повернув вектор вокруг точки А на 90° в направлении вращения фигуры и отложив на этой полупрямой отрезок

получим точку , которая является МЦС (рис. 102).

Если же известны направления скоростей двух точек плоской фигуры, то МЦС находят как точку пересечения перпендикуляров, восставленных в этих точках к направлениям их скоростей.

Если мгновенный центр скоростей найден и если известна угловая скорость фигуры, то скорость любой точки В фигуры определяется как скорость этой точки во вращательном движении вокруг мгновенного центра скоростей, т. е. вектор перпендикулярен к отрезку РВ и по модулю равен произведению .

Отсюда следует, что скорости точек плоской фигуры пропорциональны их расстояниям от мгновенного центра скоростей, т. е.

Таким образом, скорость любой точки движущейся плоской фигуры можно определить двумя способами:

1) по формуле (75);

2) при помощи мгновенного центра скоростей.

Из задач, относящихся к этому параграфу, следует обратить внимание на такие задачи, в которых имеются плоские механизмы, состоящие из нескольких звеньев (например, задачи 517, 533,

536—538). При решении этих задач рассматривают последовательно движения отдельных звеньев механизма, начиная с того звена, движение которого задано, и при переходе от одного звена к другому определяют скорости тех точек, которые являются общими для этих двух звеньев механизма. Следует подчеркнуть, что мгновенный центр скоростей можно находить только для каждого звена в отдельности; то же относится и к угловым скоростям (см. пример 75).

Пример 74. Стержень АВ длиной опирается на неподвижное ребро С двугранного угла и движется в плоскости чертежа так, что нижний его конец А скользит по горизонтальной оси со скоростью, равной . Определить угловую скорость и скорости точек В и С стержня в момент, когда угол , если (рис. 103).

Рис. 102.

Решение. 1-й способ. Скорость точки А направлена по прямолинейной траектории этой точки, а скорость точки С стержня АВ направлена вдоль этого стержня. Принимая точку А за полюс, по формуле (75) имеем:

причем . На основании этого векторного равенства строим треугольник скоростей. Для этого в точке С строим вектор , из концa которого опустим перпендикуляр на прямую АВ, тогда , причем .

Из этого треугольника имеем:

Рис. 103.

Но

откуда

Переходя к определению скорости точки В, имеем: , причем вращательная скорость точки В вокруг полюса А перпендикулярна к АВ и по модулю равна

Аналогично предыдущему строим для точки В треугольник скоростей, в котором известны по модулю и направлению две стороны . Так как угол в треугольнике скоростей, лежащий против стороны , равен , то

2-й способ. Скорости точек С и В и угловую скорость стержня АВ можно найти и другим способом, построив мгновенный центр скоростей стержня АВ, как точку пересечения прямых АР и СР, перпендикулярных к скоростям . Тогда

Расстояния РА и PC находим из треугольника АРС, а расстояние РВ — из треугольника ВРС.

Следовательно,

Вектор перпендикулярен к отрезку РВ.

Пример 75. Кривошип делает 120 оборотов в минуту и при помощи звена приводит в движение стержень , закрепленный шарнирно в точке . Определить угловую скорость стержня АВ и угловую скорость стержня в момент, когда кривошип займет вертикальное положение, если известно, что в этот момент звено АВ образует с вертикалью (рис. 104).

Решение. 1-й способ. Данный механизм состоит из трех звеньев.

1) кривошипа , вращающегося вокруг оси с угловой скоростью:

2) стержня , вращающегося вокруг оси ;

3) стержня АВ, движущегося в плоскости чертежа.

Найдем скорость точки А. Вектор перпендикулярен к радиусу вращения и по модулю равен

Далее рассмотрим точку В.

Рис. 104.

Так как точка В принадлежит звену , вращающемуся вокруг неподвижной точки , то скорость точки В перпендикулярна к . Принимая точку А за полюс, по формуле (75) имеем:

На основании этого векторного равенства строим треугольник скоростей. Для этого в точке В строим вектор и луч, перпендикулярный к , а из точки а — луч, перпендикулярный к АВ, до их взаимного пересечения в точке . Тогда , причем .

Следовательно,

Теперь, зная скорости , находим искомые угловые скорости и стержней АВ и :

Если бы в данной задаче не требовалось находить угловую скорость звена АВ, то скорость точки В проще было бы найти по теореме о проекциях скоростей точек А и В на прямую АВ.

Этой теоремой удобно пользоваться в тех случаях, когда заданы направления скоростей двух точек плоской фигуры и модуль одной из этих скоростей.

2-й способ. Находим мгновенный центр вращения звена АВ как точку пересечения прямых , перпендикулярных к скоростям . Так как скорости точек звена АВ пропорциональны их расстояниям от мгновенного центра вращения этого звена, то

откуда

Рис. 105.

Из треугольника АВР имеем:

Следовательно,

Угловую скорость звена АВ найдем по формуле (76):

Пример 76. Кривошип вращается вокруг неподвижной оси с угловой скоростью и приводит в движение колесо II радиуса , катящееся без скольжения по неподвижному колесу I радиуса . С колесом II в точке А соединен шарнирно стержень , который приводит в движение ползун В, перемещающийся по горизонтальной направляющей, проходящей через точку .

Построить мгновенный центр скоростей звена А В и найти его угловую скорость, а также скорость точки В в тот момент, когда кривошип вертикален и (рис. 105).

Решение. Так как движение кривошипа задано, то этот кривошип является ведущим звеном, поэтому сначала найдем скорость точки . Вектор , перпендикулярен к и по модулю равен

Далее рассмотрим точку А, которая принадлежит колесу II; это колесо катится без скольжения по неподвижному колесу I и поэтому скорость точки С колеса I равна нулю, т. е. точка С является мгновенным центром скоростей для колеса , и скорость точки А перпендикулярна к С А. Кроме того, по формуле (77) имеем:

откуда

Перейдем теперь к стержню АВ. Так как ползун В движется прямолинейно, то скорость точки В направлена по прямой . Чтобы построить мгновенный центр скоростей для звена АВ, достаточно восставить перпендикуляры в точках А и В к направлениям векторов до пересечения этих перпендикуляров в точке . Тогда , откуда .

По формулам (76) и (77) находим :

Из треугольника ABC, имеем:

откуда

Таким образом,