§ 3. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ

(задачи 853—861)

Если на материальную точку М, движущуюся по оси х, кроме силы F, пропорциональной расстоянию , и силы сопротивления среды, пропорциональной скорости v, действует еще некоторая периодически изменяющаяся сила F, которую назовем возмущающей силой (рис. 156), то дифференциальное уравнение движения точки запишется так:

Пусть, например, возмущающая сила изменяется по закону

Тогда, полагая и сохраняя обозначения, принятые в предыдущем параграфе, получим:

При общее решение этого уравнения имеет вид:

где

Первый член правой части равенства (137) представляет собой затухающие колебания, а второй — так называемые вынужденные колебания.

Постоянные определяются по начальным условиям движения. Если , то при

амплитуда вынужденных колебаний достигает максимума, равного

При отсутствии сопротивления , а следовательно, и дифференциальное уравнение движения точки принимает вид:

Полагая в равенствах , имеем его общее решение:

где

Первый член последнего равенства представляет собой свободные колебания, второй член — вынужденные.

Если частоты свободных и вынужденных колебаний совпа: дают, т. е. если , то возникает резонанс, тогда решение уравнения (141) представляется в виде

В этом случае амплитуда вынужденных колебаний неограниченно возрастает с возрастанием .

Пример 119. Тело весом , погруженное в жидкость, подвешено на пружине, статическое удлинение которой под действием веса этого тела равно 1 см.

Свободный конец пружины совершает вертикальные колебания около неподвижной точки по закону , причем выражено в метрах, секундах.

Рис. 157.

Сила сопротивления жидкости при движении груза пропорциональна его скорости v и при равна 15,7 н. Найти амплитуду вынужденных колебаний (рис. 157).

Решение. Выберем начало координат О в положении равновесия тела, предполагая при этом, что конец А пружины находится в точке тогда , где - длина недеформированной пружины, — ее статическое удлинение.

Ось у направим по вертикали вниз. В некоторый момент t, когда тело занимает положение М, длина пружины

а ее удлинение

Если жесткость пружины обозначим с, то реакция пружины

но , поэтому

Сила сопротивления жидкости

где — коэффициент пропорциональности, - скорость тела. Дифференциальное уравнение движения тела имеет вид:

или

где

Мы получили дифференциальное уравнение (136), в котором нужно положить . Поэтому искомую амплитуду вынужденных колебаний находим по формуле (138):

числитель и знаменатель на , получим:

Подставим числовые значения входящих сюда величин:

Следовательно,

Пример 120. Колеблющаяся масса вибрационного грохота, установленного на наклонной плоскости с углом наклона а (рис. 158, а), приводится в движение при помощи двух пружин жесткостью с каждая, соединенных с ползуном В кривошипно-шатунного механизма. Длина I шатуна АВ значительно больше длины кривошипа ОА, так что первой и более высокими степенями отношения у можно пренебречь, т. е. можно считать, что ползун В движется по тому же закону, что и проекция А пальца А кривошипа на ось . Вес грохота равен . Определить вынужденные колебания грохота, пренебрегая потерями на трение, если кривошип вращается по закону . При каком числе оборотов в минуту кривошипа наступит резонанс?

Рис. 158.

Решение. Обозначим среднее положение ползуна (при ) через , а смещение ползуна из этого положения — через тогда имеем:

Смещение центра тяжести грохота отсчитываем от того положения , в котором он находился бы при среднем положении ползуна, если бы система оставалась в покое. Очевидно,

т. е. - статическая деформация пружин привода грохота под действием составляющей его веса, направленной вдоль наклонной плоскости. Отсюда деформация пружин (см. рис. 158, б, где смещения ползуна и грохота показаны в увеличенном масштабе) выразится следующим образом:

а потому проекция силы упругости пружины на ось х определяется так:

Отсюда получаем дифференциальное уравнение движения грохота:

или

Вводя обозначения , имеем:

Отсюда на основании уравнения (141) получаем:

Резонанс наступает при , откуда

Пример 121. Материальная точка массой кг движется по горизонтальной прямой, притягиваясь к неподвижному центру О силой F, пропорциональной расстоянию точки от этого центра, причем коэффициент пропорциональности . Кроме того, на точку действует возмущающая сила , выраженная в ньютонах. Найти закон движения точки если в начальный момент см/сек и возмущающая сила F в начале движения при совпадает по направлению с начальной скоростью (рис. 159).

Рис. 159.

Решение. Выбирая начало координат в центре О и направляя ось по траектории точки в сторону ее начальной скорости, составляем дифференциальное уравнение движения точки:

т. е. получаем уравнение (141), в котором

Так как частоты свободных и вынужденных колебаний совпадают , то возникает резонанс и закон движения точки определяется уравнением (143).

откуда

Пользуясь начальными условиями см/сек , имеем:

Следовательно,

Таким образом,