ДИНАМИКА СИСТЕМЫ

Глава IV. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ СИСТЕМЫ

§ 1. ТЕОРЕМЫ О КОЛИЧЕСТВЕ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ И О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА МАСС

Количеством движения системы называется геометрическая сумма количеств движения всех материальных точек этой системы, т. е.

где К — количество движения системы; отсюда получаем проекции количества движения на координатные оси:

Теорема о количестве движения системы формулируется так.

Векторная производная по времени от количества движения системы равна главному вектору всех внешних сил, приложенных к этой системе, т. е.

отсюда следует, что производная по времени от проекции коли чества движения системы на данную неподвижную ось равна про главного вектора внешних сил на ту же ось, т. е.

Центром масс системы называется геометрическая точка С, координаты которой определяются по формулам:

где М — масса данной системы, причем — координаты материальных точек этой системы. Из формул 203) следует, что положения центра масс и центра тяжести твердого тела совпадают.

Если данная система состоит из нескольких, например, из трех тел, то, обозначая массы этих тел , а их центры масс (центры тяжести) имеем:

Если предположить, что в центре масс сосредоточена вся масса системы, то количество движения системы будет равно количеству движения ее центра масс (центра тяжести). Следовательно, обозначая через скорость центра масс системы, имеем

отсюда:

Учитывая, что ускорение центра масс С равно , из равенств (201) и (205) имеем

отсюда

Уравнения (206) представляют собой дифференциальные уравнения движения центра масс системы и выражают следующую теорему о движении этого центра: центр масс системы движется так же, как материальная точка, в которой сосредоточена масса всей системы и к которой приложены все внешние силы, действующие на эту систему.

Следствие. Если главный вектор внешних сил или его проекция на данную неподвижную ось равны нулю, то количество движения системы или его проекция на эту ось остаются неизменными, т. е.

то

(207)

то

(207)

Задачи, относящиеся к этому параграфу, можно разделить на следующие три основных типа:

I. Задачи на вычисление количества движения системы (задачи 966—969).

II. Задачи, в которых осуществляется сохранение количества движения системы или его проекции на данную неподвижную ось, т. е. применяются равенства (207) или (207) (Задачи 951—957, 970-974)

III. Задачи на применение теоремы о количестве движения системы или о движении центра масс к определению реакций связей (задачи 958—963, 975—980).

Задачи типа I

Задачи этого типа можно решать двумя способами: либо при помощи формул (199) и (200), либо при помощи формул (205) и (206).

Пример 155. В механизме, изображенном на рис. 192, кривошип весом вращается в вертикальной плоскости вокруг неподвижной оси О с постоянной угловой скоростью и приводит в движение колесо радиусом и весом , которое катится без скольжения по неподвижному колесу II радиусом . Центр тяжести колеса находится в точке . Прямолинейный стержень АВ весом , соединенный шарниром А с колесом , движется поступательно в вертикальных направляющих.

Найти проекции количества движения этой системы на координатные оси х и у (рис. 192).

Рис. 192.

Решение. Первый способ.

Данная система состоит из трех тел: кривошипа подвижного колеса и стержня АВ. Поэтому , где — количества движения кривошипа, колеса и стержня АВ.

На основании формулы (205), применяемой к каждому из этих тел в отдельности имеем

где — соответственно скорости точек , (центра тяжести кривошипа) и (центра тяжести стержня).

Так как точки принадлежат кривошипу вращающемуся вокруг оси О, то векторы перпендикулярны к и по модулю равны:

Так как стержень АВ движется поступательно, то , причем вектор направлен по АВ.

Чтобы найти скорость точки А, принадлежащей колесу , заметим, что мгновенный центр вращения этого колеса находится в точке С касания колес .

Следовательно,

где угол поворота кривошипа; отсюда

Теперь из равенства (а) находим искомые проекции количества движения данной системы:

Второй способ. На основании формул (204) имеем:

где М — масса всей данной системы, состоящей из трех тел;

С — центр масс этой системы.

Из рис. 192 находим:

где

Следовательно,

Отсюда на основании формул (205) получаем: