§ 4. КОМБИНИРОВАННЫЕ ЗАДАЧИ

В этих задачах приходится применять совместно две из тех теорем динамики системы, которые рассмотрены в предыдущих параграфах; например, теоремы о количестве движения и о кинетическом моменте системы или теоремы об изменении кинетической энергии и о движении центра масс системы.

Рис. 208.

Пример 172. На ступенчатый шкив весом , вращающийся вокруг неподвижной оси О, навернуты канаты, к концам которых подвешены грузы и В весом , и . Предполагая, что на эту систему действуют только силы тяжести, и пренебрегая сопротивлениями, найти ускорения грузов и реакцию в точке О.

Радиусы R и и радиус инерции шкива относительно оси О известны (рис. 208).

Решение. Так как в заданной задаче требуется определить ускорения грузов, то применим уравнение (227). Сначала вычислим по формулам (229) и (230) кинетическую энергию Т данной системы, состоящей из двух грузов, движущихся поступательно, и шкииа, вращающегося вокруг неподвижной оси:

где — скорости грузов А и В, - момент инерции шкива относительно оси вращения, — его угловая скорость.

Но

поэтому

Отсюда

где — угловое ускорение шкива.

Так как груз В поднимается, а груз А опускается, то сумма мощностей, действующих на систему сил, равна

Следовательно, уравнение (227) имеет вид

откуда

Искомые ускорения грузов равны:

Для определения реакции в точке О применим теорему о проекции количества движения К системы на неподвижную ось (см § 1 этой главы). Выбрав координатные оси х и у, как указано на рисунке, на основании этой теоремы имеем:

где - составляющие искомой реакции по координатным осям. Учитывая, что скорости грузов А и В параллельны оси у и что количество движения шкива равно нулю, так как его центр тяжести лежит на оси вращения, находим:

Из этих уравнений получаем:

Угловое ускорение шкива можно найти и по теореме о кинетическом моменте системы. Применяя эту теорему по отношению к оси О, имеем:

(Моменты внешней силы и реакции в точке О относительно оси вращения шкива равны, очевидно, нулю). Кинетический момент данной системы относительно оси О равен сумме кинетических моментов шкива и двух грузов относительно той же оси. Следовательно,

Поэтому уравнение (а) принимает вид

отсюда

Пример 173. Доска весом , лежит на двух цилиндрических катках радиусом и весом каждый. Вся система движется под действием заданной горизонтальной силы F, приложенной к доске; при этом предполагается, что катки катятся без скольжения и что скорость доски равна скорости катка в точке А. Найти ускорение доски и общую силу трения в точках А и В (рис. 209).

Рис. 209.

Решение. Для определения ускорения доски воспольвуемся, как и в предыдущей задаче, уравнением (227):

Так как доска движется поступательно, а движение катков является плоскопараллельным. то кинетическую энергию данной системы находим по формулам (229) и (231):

где — скорость доски, — скорость центра тяжести катка, — угловая скорость катка, — его момент инерции, относительно оси О, перпендикулярной к плоскости рисунка.

Так как каток катится без скольжения, то точка А, есть его мгновенный центр вращения; отсюда следует, что

Кроме того, , поэтому

Отсюда

Так как силы P, и перпендикулярны к скоростям их точек приложения, а силы трения между катками и опорной плоскостью приложены в точках , скорости которых равны нулю, то работа каждой из этих сил равна нулю. Сумма работ внутренних сил трения между доской и катками, приложенных в точках А и В, также равна нулю, так как доска не скользит по каткам.

Рис. 210.

Поэтому работу производит только сила F, мощность которой равна .

Следовательно, уравнение (227) принимает вид

откуда

Чтобы найти равнодействующую сил трения , приложенных к доске в точках А и В, рассмотрим отдельно движение доски и составим уравнения движения ее центра тяжести С:

где нормальные реакции катков, приложенные к доске в точках А и В (рис. 210).

Но , поэтому .

Если обозначим f коэффициент трения между доской и катками, то . Отсюда следует, что

или

Такому условию должен удовлетворять коэффициент трения, чтобы доска не скользила по каткам.

Таблица 20. Классификация задач