Задачи типа II

Задачи этого типа можно разделить на следующие три группы:

1. Задачи, решаемые при помощи уравнения (228), т. е. на основании теоремы об изменении кинетической энергии в конечной форме.

Уравнение (228) следует применять в тех случаях, когда действующие на систему заданные сипы или постоянны (и по модулю, и по направлению), или для них существует силовая функция, а в числе известных и искомых в задаче механических величин имеются, кроме этих сил, только скорости (линейные или угловые) и перемещения (поступательные или угловые) тел, входящих в данную систему.

2. Задачи, решаемые при помощи уравнения (226), т. е. на основании теоремы об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме.

Уравнение (226) следует применять в тех случаях, когда заданные переменные силы (или сила), действующие на систему, зависят от скорости, а известные и искомые в задаче механические величины те же, что и в предыдущем случае.

В этом случае при интегрировании уравнения (226) сначала нужно разделить переменные.

3. Задачи, решаемые при помощи уравнения (227), т. е. на основании теоремы о зависимости между кинетической энергией системы и мощностью действующих на систему сил. Уравнение (227) следует применять в тех случаях, когда требуется найти (либо, наоборот, задано) ускорение тела — линейное (при поступательном движении тела) или угловое (при вращательном движении).

Первая группа

Пример 169. Груз А весом , подвешен к однородному нерастяжимому канату длиной L и весом .

Канат переброшен через блок В, вращающийся вокруг оси О, перпендикулярной к плоскости рисунка. Второй конец каната прикреплен к оси катка С, катящегося без скольжения по неподвижной горизонтальной плоскости. Блок В и каток С — однородные круглые цилиндры радиусом и весом каждый. Коэффициент трения качения катка С о горизонтальную плоскость равен . В начальный момент, когда система находилась в покое, с блока В свешивалась часть каната длиной I. Определить скорость груза А в зависимости от его вертикального перемещения h (рис. 205).

Рис. 205.

Решение. Так как в данной задаче известными величинами являются перемещение h груза и постоянные силы , а требуется найти скорость v груза, то следует воспользоваться уравнением (228), выражающим теорему об изменении кинетической энергии в конечной форме:

Кинетическая энергия данной системы равна

где - соответственно кинетическая энергия груза А, блока В, катка С и каната. Так как скорость любой точки каната равна скорости v груза, движущегося поступательно, то по формуле (229) находим:

Кинетическую энергию вращающегося блока находим по формуле (230):

(угловая скорость блока); следовательно,

Так как движение катка С является плоскопараллельным, то по формуле (231) имеем:

где , - угловая скорость катка.

Так как каток катится без скольжения, то скорость точки касания его с неподвижной плоскостью равна нулю, т. е. эта точка является мгновенным центром вращения катка.

Отсюда следует, что , поэтому

Таким образом,

В начальный момент система находилась в покое, поэтому

Перейдем теперь к вычислению суммы работ всех сил, приложенных к данной системе при перемещении груза А на расстояние А.

Работа силы очевидно, будет . Работа каждой из сил равна нулю, так как точка О неподвижна, а точка С перемещается по горизонтали.

Момент пары трения качения равен , а работа сил этой пары, согласно § 3 гл. III, будет равна произведению момента пары на угол поворота катка, взятому со знаком минус, так как направление момента пары трения качения противоположно направлению угловой скорости катка; следовательно,

Так как угловая скорость катка равна угловой скорости (В блока В, то угол поворота катка равен углу поворота блока, т. е. , поэтому

При качении катка без скольжения, работа силы трения скольжения будет равна нулю, поскольку равна нулю скорость точки приложения этой силы.

Так как, согласно § 3 гл. III, работа силы тяжести равна произведению веса тела на вертикальное перемещение его центра тяжести, то, сравнивая начальное положение каната с его конечным положением СEDA, нетрудно видеть, что работа веса каната равна произведению веса его части равного на разность высот центров тяжести этой части и части каната , т. е. на . Поэтому

Таким образом,

Подставляя найденные значения суммы работ и кинетической энергии Т в уравнение (228), находим:

Отсюда находим искомую скорость груза: