Задачи типа I

При решении задач этого типа необходимо иметь в виду следующее:

а) если тело, принадлежащее данной системе, движется поступательно то его кинетическая энергия равна

где М — масса тела, — скорость его центра тяжести (или любой другой его точки, так как при поступательном движении тела скорости всех его точек равны);

б) если тело вращается вокруг данной оси, то его кинетическая энергия вычисляется по формуле

где — момент инерции тела относительно оси вращения,

— его угловая скорость;

в) если тело, входящее в систему, совершает плоскопараллельное движение, то в этом случае его кинетическая энергия вычисляется по формуле

где М — масса тела, — скорость центра тяжести тела, — его угловая скорость, — моменг инерции тела относительно оси, проходящей через центр тяжести тела и перпендикулярной к неподвижной плоскости, параллельно которой перемещается это тело (задачи 1045, 1046).

Пример 167. Вычислить кинетическую энергию механизма эллипсографа, состоящего из кривошипа ОС весом , вращающегося вокруг неподвижной оси О с угловой скоростью и приводящего в движение линейку АВ с ползунами А и В, причем .

Вес линейки , а веса ползунов А и В равны (рис. 203).

Рис. 203.

Решение. Так как данная система состоит из четырех тел, то ее кинетическая энергия, согласно формуле (225), равна

где - кинетическая энергия кривошипа, — кинетическая энергия линейки АВ, и ТА — соответственно кинетическая энергия ползунов А и В.

Кинетическую энергию кривошипа находим по формуле (230)

Так как движение линейки АВ является плоскопараллельным, то по формуле (231) имеем:

где

Чтобы найти угловую скорость и, линейки, построим ее мгновенный центр вращения тогда

и, следовательно,

Теперь находим скорости точек А и В:

и

Отсюда по формуле (229) имеем:

и, следовательно,

Таким образом,

Пример 168. Планетарный механизм приводится в движение кривошипом ОА, соединяющим оси трех зубчатых колес I, II и III. Колесо I, радиус которого равен , неподвижно; кривошип вращается вокруг неподвижной оси О с угловой скоростью . Вес каждого из колес II и III равен , радиус каждого из них , вес кривошипа .

Рис. 204.

Вычислить кинетическую энергию механизма, считая колеса однородными дисками, а кривошип — однородным тонким стержнем, если . Решение. Кинетическая энергия данной системы равна

где — соответственно кинетическая энергия кривошипа и колес II и III. По формуле (230) находим:

Кинетическую энергию колес II и III вычисляем по формуле (231):

где и — моменты инерции колес II и III относительно осей, проходящих через точки В и А и перпендикулярных к плоскости рисунка, и , — абсолютные угловые скорости этих колес.

Так как точки А и В принадлежат кривошипу, то

Кроме того, .

Так как колесо неподвижно, то скорость точки С, принадлежащей колесу , равна нулю, т. е. точка С является для колеса мгновенным центром вращения. Отсюда следует, что

По теореме сложения угловых скоростей в случае параллельных осей вращения относительная угловая скорость (по отношению к кривошипу) колеса II будет равна

Так как колеса II и III имеют равные радиусы и находятся во внешнем зацеплении, то их относительные угловые скорости равны по величине и противоположны по знаку, т. е.

Потому по той же теореме абсолютная угловая скорость колеса III равна

Следовательно,

и