§ 2. СЛОЖЕНИЕ ВРАЩЕНИЙ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ОСЕЙ

Если относительное и переносное движения тела являются вращательными вокруг параллельных осей (рис. 133), то распределение абсолютных скоростей в теле в каждый данный момент такое, как при вращательном движении вокруг мгновенной оси, которая параллельна осям составляющих вращений и делит расстояние между ними внутренним образом (если направления переносного и относительного вращений совпадают) или внешним образом (если направления этих вращений прогивопопожны) на части, обратно пропорциональные относительной и переносной угловым скоростям, т. е.

где — соответственно переносная, относительная и абсолютная угловые скорости.

Рис. 133.

Если направления угловых скоростей и совпадают (рис. 133, а), то абсолютная угловая скорость направлена в ту же сторону и по модулю равна сумме их модулей:

Если же векторы и направлены в противоположные стороны (рис. 133, б), то абсолютная угловая скорость направлена в сторону большего из них и по модулю равна разности их модулей, т. е.

если и

если .

Если относительная и переносная угловые скорости образуют пару угловых скоростей, т. е. (рис. 133, в), то распределение абсолютных скоростей в теле такое, как при поступательном движении, причем абсолютная скорость любой точки тела в данный момент равна вектор - моменту указанной пары:

При решении задач на сложение вращений вокруг параллельных осей часто оперируют не с модулями угловых скоростей, а с их алгебраическими величинами, которые представляют собой проекции угловых скоростей на ось, параллельную осям рассматриваемых вращений. Выбор положительного направления указанной оси произволен.

Рис. 134.

В этом случае угловые скорости одного направления являются положительными, а противоположного направления — отрицательными величинами и абсолютная угловая скорость выражается в виде алгебраической суммы составляющих угловых скоростей.

Пример 94. В дифференциальном механизме (рис. 134, а и б) ведущими звеньями являются колесо 1 и водило H, несущее ось двойного сателлита . Зная угловые скорости и колеса 1 и водила H, а также числа зубьев всех колес, найти угловую скорость колеса 3.

Решение. способ (метод Виллиса). Сущность метода заключается в сведении задачи анализа планетарных и дифференциальных механизмов к анализу обыкновенных зубчатых механизмов путем перехода от абсолютного движения звеньев рассматриваемого планетарного механизма к их относительному движению по отношению к водилу.

Пусть имеем планетарный механизм, оси колес которого параллельны. Обозначим через алгебраические значения абсолютных угловых скоростей соответственно звеньев и водила H.

Для перехода к движению относительно водила сообщим мысленно всей системе вращение вокруг оси водила с угловой скоростью (т. е. равной угловой скорости водила, но направленной в прямо противоположную сторону). Тогда водило остановится, и звенья и на основании теоремы сложения вращений, получат угловые скорости . Так как при неподвижном водиле получаем обыкновенный зубчатый механизм, звенья которого вращаются вокруг неподвижных осей, то к этому механизму можно применить формулу (97) для передаточных отношений, что приводит нас к так называемой формуле Виллиса:

где — передаточное отношение между звеньями и в их движении относительно водила H (о чем говорит верхний индекс). Это передаточное отношение, как уже указывалось можно выразить через конструктивные и геометрические параметры механизма (числа зубьев или радиусы начальных окружностей, находящихся в зацеплении колес).

В нашей задаче применим формулу Виллиса к звеньям 1 и 3:

но

(передаточное отношение между колесами 5 и 2 положительно, так как колеса имеют внутреннее зацепление);

(здесь передаточное отношение отрицательно, так как колеса 2 и имеют внешнее зацепление).

Таким образом,

откуда

Пусть, например, и, кроме того, колесо и водило H вращаются в одну сторону с угловыми скоростями и . В этом случае . Если бы колесо и водило H вращались в противоположные стороны, то угловую скорость одного из этих звеньев необходимо было бы считать величиной положительной, а другого — отрицательной.

В этом случае при тех же абсолютных значениях угловых скоростей звеньев и H мы бы имели:

т. е. колесо 3 вращалось бы в ту же сторону, что и водило, так как знаки их угловых скоростей совпадают.

Если закрепим колесо , то получим простой планетарный механизм. Формула Виллиса в этом случае остается в силе, надо только положить в этой формуле , что дает:

2-й способ (метод мгновенных центров скоростей). Так как звенья планетарного или дифференциального механизма с параллельными осями совершают плоскопараллельное движение, то при анализе такого механизма можно применить теорию плоскопараллельного движения и, в частности, воспользоваться методом мгновенных центров скоростей. Решение задачи полезно сопровождать построениями треугольников скоростей, которые обычно выносят за пределы механизма (рис. 134, в). Радиусы колес рассматриваемого механизма обозначим через . Тогда имеем:

на рис. 134, в скорость точки А касания колес 1 и 2 изображена в виде вектора , а скорость точки В — в виде вектора . Зная скорости точек А и В, через концы а и этих скоростей проводим прямую и в пересечении этой прямой с продолжением прямой АВ в точке получаем мгновенный центр скоростей сдвоенного колеса точки С касания колес 2 и 3 изобразится на рисунке вектором . Зная скорость точки С колеса 3, находим угловую скорость этого колеса:

Построение треугольников скоростей и является геометрическим решением данной задачи. Для получения аналитического выражения для и, воспользуемся следующими уравнениями, вытекающими из наших построений:

где — угловая скорость колеса вокруг мгновенного центра скоростей .

Вычитая из равенства (а) равенство (б), получим:

откуда

Поделив эти равенства почленно друг на друга, находим

или

откуда

Используя равенства (в), (г) и (д), имеем:

Отсюда

Заменив отношения радиусов отношениями чисел зубьев, получим ранее найденный ответ.