Задачи типа II

Задачи этого типа, в которых рассматривается криволинейное движение свободной материальной точки, можно также разделить на четыре группы.

Первая группа

Задачи, в которых движение материальной точки происходит под действием постоянной силы.

Пример 108. Начальная скорость снаряда . Под каким углом к горизонту следует бросить этот снаряд из начала координат, чтобы он попал в точку с координатами

Сопротивлением воздуха пренебрегаем.

Решение. Ось z направим по вертикали вверх, а ось у — по горизонтали так, чтобы начальная скорость снаряда лежала в плоскости .

Тогда, как известно (см., например, курс теоретической механики И. М. Воронкова, § 100), снаряд будет двигаться в вертикальной плоскости , причем уравнения его движения имеют вид

Исключая отсюда t, получаем уравнение траектории (параболы):

или, заменяя на , получаем:

Подставляя сюда значения , получаем:

Решая это квадратное уравнение относительно а, находим:

откуда

Пример 109. Частица М массы , несущая заряд отрицательного электричества , вступает в однородное электрическое поле постоянного напряжения Е, имеющего горизонтальное направление, с вертикальной скоростью .

Определить дальнейшее движение частицы, зная, что в электрическом поле на нее действует сила , направленная в сторону, противоположную напряжению поля. При решении задачи учесть действие силы тяжести (рис. 144).

Рис. 144.

Решение. За начало координат О возьмем начальное положение частицы, ось направим по горизонтали в сторону, противоположную напряжению поля, а ось вертикали вверх (рис. 144). Тогда проекции равнодействующей сил и F на оси х и у будут равны:

Дифференциальные уравнения движения частицы, согласно уравнениям (110), имеют вид:

или

Отсюда

Интегрируя эти уравнения в соответствующих пределах, получаем:

Но поэтому

Или

Отсюда, интегрируя, находим:

Так как в начальный момент частица находится в начале координат, то и, следовательно,

Эти уравнения определяют движение частицы М. Предлагается читателю доказать, что проекция скорости частицы на прямую, перпендикулярную к равнодействующей сил F и , остается неизменной.