Задачи типа II

К задачам второго типа относятся задачи, в которых сумма проекций всех внешних сил на данную неподвижную ось, например, на ось х, равна нулю. В этом случае (см. равенство 207) имеем

Следовательно, если обозначим количество движения системы в начальный момент (при ), то или

Если в начальный момент система неподвижна, т. е. начальные скорости всех ее точек равны нулю, то в этом случае и, следовательно,

Так как (см. равенства 205), то при имеем:

Если в начальный момент скорость центра масс системы равна нулю, то и, следовательно, отсюда

(210)

т. е. абсцисса центра масс системы в рассматриваемом случае постоянна.

Задачи второго типа можно решать двумя способами:

1) на основании равенств (208) и (209);

2) с применением равенства (210).

Пример 156. Определить перемещение плавучего крана, поднимающего груз весом , при повороте стрелы крана на 30° до вертикального положения. Вес крана км, длина стрелы . Сопротивлением воды пренебречь (рис. 193).

Решение. Первый способ. В данной задаче имеем систему, состоящую из двух тел: плавучего крана и груза; внешними силами, приложенными к этой системе, являются вес крана , вес груза , и вертикальное давление воды, направленное снизу вверх (архимедова сила). Так как все эти внешние силы вертикальны, то сумма их проекций на горизонтальную ось х равна нулю.

Кроме того, в начальный момент система неподвижна, поэтому, применяя равенство (209), получим

где — проекции на ось х абсолютных скоростей груза и плавучего крана.

Заменяя на , где и - соответственно абсциссы груза и центра тяжести крана, получим:

или, интегрируя,

где абсциссы груза и центра тяжести крана в начальный момент, причем, как видно из рисунка,

В момент, когда стрела займет вертикальное положение, абсцисса , груза будет равна перемещению s крана; следовательно, в этот момент имеем

или

Так как

то

откуда находим

Знак минус указывает на то, что кран переместился влево. Второй способ. Применяя равеиаво (210), имеем

Рис. 193.

где абсцисса центра масс (центра тяжести) данной системы (груза и крана).

Но

поэтому

Таким образом, мы имеем то же уравнение, которое получили выше, при первом способе решения задачи. Из этого уравнения так же, как при первом способе решения, находим искомое перемещение крана.

Пример 157. На горизонтальной платформе весом , установлена наклонная плоскость АВ, образующая с горизонтом угол (рис. 194). По этой наклонной плоскости при помощи лебедки поднимается груз С весом так, что расстояние АС изменяется по закону .

Рис. 194.

В начальный момент вся система находится в покое.

Определить скорость, с которой будет двигаться платформа; сопротивлением движению платформы пренебрегаем.

Решение. Первый способ. В данной задаче мы имеем систему, состоящую из двух тел: платформы и груза С; внешними силами, приложенными к этой системе, являются вес платформы , вес груза и нормальные реакции и рельсов в точках D и Е. Так как все эти силы вертикальны, то сумма их проекций на горизонтальную ось х равна нулю, т. е. поэтому, учитывая, что в начальный момент система неподвижна, и применяя равенство (209), как в предыдущей задаче, получим

где — проекции на ось скоростей платформы и груза.

Если поступательное движение платформы принять за переносное движение, то относительным движением груза будет его перемещение по наклонной плоскости АВ. Следовательно, вектор относительной скорости груза направлен параллельно АВ и по модулю равен

Вектор переносной скорости груза равен скорости платформы параллельной оси х, поэтому

По теореме сложения скоростей имеем: . Поэтому равенство (а) перепишется так:

Отсюда находим

Знак минус указывает на то, что платформа будет перемещаться влево.

Второй способ. Абсцисса центра масс данной системы равна

где — абсциссы центров тяжести платформы и груза. Следовательно, на основании равенства (210) имеем

Но, как видно из рисунка, , а потому

Дифференцируя это равенство по t, получим:

или

отсюда