Третья группа. Задачи о равновесии тела, закрепленного при помощи шести стержней, соединенных с телом и опорами шарнирно (задачи 268, 269)

Пример 44. Однородная плита весом G (рис. 78), имеющая форму прямоугольного параллелепипеда, опирается на шесть прямолинейных стержней, соединенных своими концами с плитой и с неподвижными опорами при помощи сферических шарниров. На плиту действует, как указано на рисунке, горизонтальная сила точке А подвешен груз Q. Найти усилия в стержнях, пренебрегая их весом. Указанные на рисунке размеры и углы заданы [эти величины связаны между собой очевидными соотношениями: (рис. 78)].

Решение. Рассматриваем равновесие плиты под действием силы Р, веса G, натяжения Q каната, на котором подвешен груз, и реакций , стержней.

Последние направляем так, как будто все стержни работают на растяжение (т. е. от шарниров А, В, С и D вдоль стержней). Координатные оси х, у, z располагаем, как указано на рисунке. Чтобы определить шесть реакций , неизвестных по модулю, но известных по направлению, составим шесть уравнений равновесия, приравнивая нулю сумму проекций всех сил на координатные оси и сумму их моментов относительно тех же осей.

Рис. 78.

Следовательно, при решении задач о равновесии тела, закрепленного при помощи шести невесомых прямолинейных стержней, не лажащих в одной плоскости, получаем шесть неизвестных по модулю, но известных по направлению реакций стержней, которые определяются из шести уравнений равновесия системы; поэтому задача статически определенная. Для того чтобы составить шесть уравнений равновесия, определим проекции каждой силы на оси х, у и z и ее моменты относительно этих осей. Определение проекций рассмотренных сил на координатные оси не вызывает трудностей. Остановимся на определении моментов этих сил относительно осей х, у и z.

Силы приложены в начале координат, поэтому моменты этих сил относительно каждой из осей х, у и z равны нулю, т. е.

Силы , пересекают ось х, а сила Р параллельна этой оси, поэтому .

Точно так же силы и пересекают соответственно оси z и у, а потому .

Силы параллельны оси z, а потому

Кроме того,

так как (проекция силы G на плоскость уz на рисунке не показана);

Теперь можем составить шесть уравнений равновесия рассматриваемой системы сил:

Из первого и шестого уравнений определяем :

Далее, из второго уравнения имеем:

Подставляя найденные значения , и в остальные уравнения системы и учитывая, что , определяем из четвертого и пятого уравнений силы и , а затем из третьего уравнения — силу :

откуда

Знаки минус, полученные для реакций , указывают на то, что эти силы имеют направления, противоположные принятым на рисунке, и, следовательно, стержни 1, 4 и 6 сжаты.

Следует отметить, что третье и пятое уравнения получились громоздкими: в первое из них входят все шесть неизвестных, во второе - три. Эти уравнения можно было бы заменить уравнениями моментов относительно осей и . Действительно, силы пересекают ось , следовательно,

(сила параллельна оси ),

Таким образом,

т. e. получаем уравнение, в которое входят только две неизвестные величины, одну из них мы уже определили из первого уравнения. Поэтому

Аналогично имеем:

(силы пересекают ось )

Следовательно,

Воспользовавшись выражением , найденным из первого уравнения, имеем:

или, учитывая, что .

Силу S, можно было бы найти непосредственно из уравнения моментов относительно оси z. Действительно, моменты всех сил, за исключением и относительно оси z равны так как все эти силы либо пересекают ось z, либо ей параллельны.

Таким образом,

откуда