§ 4. КОМБИНИРОВАННЫЕ ЗАДАЧИ

(задачи 312, 353, 355—358, 367—369, 371, 373)

К задачам этого типа относятся такие задачи, в которых требуется, исходя из уравнений движения точки в декартовых координатах, найти закон движения точки по ее траектории, т. е. выразить дуговую координату s в функции времени, а также найти касательное и нормальное ускорения точки и радиус кривизны траектории.

Чтобы найти закон движения точки по ее траектории, нужно из заданных уравнений движения определить скорость и и составить уравнение: .

Отсюда, интегрируя, получим:

или

где — значение дуговой координаты s при .

Касательное ускорение определяется по формуле

после этого нормальное ускорение можно найти из равенства

где

Определив , найдем радиус кривизны по формуле

Пример 62. Даны уравнения движения точки:

Найти траекторию, закон движения точки по траектории и радиус кривизны траектории в зависимости от ординаты у.

Решение. Чтобы найти траекторию, достаточно исключить из уравнений движения время t; для этого найдем значение из первого уравнения и подставим его во второе.

Тогда имеем:

Следовательно, траектория точки есть цепная линия. Далее находим скорость :

Предполагая, что , теперь имеем:

Ускорения и находим по формулам (51), (59) и (65):

Теперь по формуле (66) находим радиус кривизны траектории:

Но

поэтому

Пример 63. Даны уравнения движения точки:

причем х, у, z выражены в метрах, а время t — в сек.

Найти радиус кривизны траектории в точке, где скорость v движущейся точки равна 5 м/ceк.

Решение. Скорость и ускорение движущейся точки находим по формулам (50) и (51):

Далее находим по формулам (64), (65) и (66):

Пример 64. Точка описывает плоскую траекторию так, что проекция ее скорости на ось постоянна и равна с. Доказать, что в этом случае ускорение равно

где v — скорость, q — радиус кривизны траектории (рис. 95).

Рис. 95.

Решение. Так как , то , т. е. вектор ускорения параллелен оси . Построив проекцию вектора скорости на ось и проекцию вектора ускорения на нормаль к траектории, получим два прямоугольных треугольника МАВ и MED. В этих треугольниках углы равны, как углы с перпендикулярными сторонами, а потому эти треугольники подобны. Отсюда находим:

Но

следовательно,

и