§ 2. ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ
(задачи 843—852)
Если материальная точка М массы m движется по оси 
под действием восстанавливающей силы F, притягивающей эту точку к неподвижному центру О в сопротивляющейся среде, то на эту точку, кроме силы F, действует еще сила сопротивления R, пропорциональная скорости v точки М, т. е.
где 
— постоянный коэффициент пропорциональности (рис. 155). Тогда 
и дифференциальное уравнение движения точки под действием восстанавливающей силы в сопротивляющейся среде принимает вид:
Введем обозначения: 
. Тогда имеем
Если 
, то движение точки является колебательным и общее решение этого уравнения имеет вид:
где 
.
Рис. 155.
Постоянные А и В (либо 
и 
) определяются по начальной скорости 
и начальной координате 
следующим образом:
Уравнение (131) есть уравнение затухающих колебаний. Период затухающих колебаний определяется по формуле
Моменты времени, в которые точка получает максимальные отклонения от начала координат (положения равновесия), образуют арифметическую прогрессию с разностью, равной полупериоду 
. Амплитуды затухающих колебаний образуют убывающую геометрическую прогрессию, знаменатель которой называется декрементом затухания и обозначается буквой D, причем
Величина 
называется логарифмическим декрементом.
Пример 118 Материальная точка совершает - прямолинейные колебания в сопротивляющейся среде под действием силы, пропорциональной расстоянию от этой точки до неподвижного центра О. Сила сопротивления среды пропорциональна скорости точки. В начальный момент 
.
Зная, что период колебаний 
сек, а декремент затухания 
, найти закон движения точки (рис. 156).
Решение. Выберем начало координат в неподвижном центре О; ось 
направим по прямолинейной траектории точки, силу притяжения к центру О обозначим F, а силу сопротивления среды обозначим R. Тогда
где 
— постоянные коэффициенты; дифференциальное уравнение движения точки имеет вид:
где 
, а 
- масса точки.
Рис. 156.
Решение этого уравнения найдем по формулам (132) и (133):
или, подставив значения 
, получим:
Чтобы найти постоянные 
и 
, воспользуемся формулами (134) и (135):
отсюда
Закон движения точки принимает вид:
поэтому
